MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scvarpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1scvarpw 21527
Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1varpw.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1varpw.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
evl1varpw.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e = (.g𝐺)
evl1varpw.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1 × = ( ·𝑠𝑊)
evl1scvarpw.a (𝜑𝐴𝐵)
evl1scvarpw.s 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
evl1scvarpw.t2 = (.r𝑆)
evl1scvarpw.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f 𝐹 = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1scvarpw (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1varpw.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑅)
32ply1assa 21368 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ AssAlg)
5 evl1scvarpw.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 evl1varpw.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
75, 6eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
82ply1sca 21422 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
98eqcomd 2746 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
1110fveq2d 6775 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
127, 11eleqtrrd 2844 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13 crngring 19793 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
152ply1ring 21417 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
17 evl1varpw.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
1817ringmgp 19787 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 evl1varpw.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 evl1varpw.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
22 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2321, 2, 22vr1cl 21386 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2414, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2517, 22mgpbas 19724 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
26 evl1varpw.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
2725, 26mulgnn0cl 18718 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
2819, 20, 24, 27syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2740 . . . . . 6 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
30 eqid 2740 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
31 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2740 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
33 evl1scvarpw.t1 . . . . . 6 × = ( ·𝑠𝑊)
3429, 30, 31, 22, 32, 33asclmul1 21088 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
354, 12, 28, 34syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
3635eqcomd 2746 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)))
3736fveq2d 6775 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))))
38 evl1varpw.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
39 evl1scvarpw.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
4038, 2, 39, 6evl1rhm 21496 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
411, 40syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
422ply1lmod 21421 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
4314, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4429, 30, 16, 43, 31, 22asclf 21084 . . . 4 (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
4544, 12ffvelrnd 6959 . . 3 (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
46 evl1scvarpw.t2 . . . 4 = (.r𝑆)
4722, 32, 46rhmmul 19969 . . 3 ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4841, 45, 28, 47syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4938, 2, 6, 29evl1sca 21498 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
501, 5, 49syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
5138, 2, 17, 21, 6, 26, 1, 20evl1varpw 21525 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))
52 evl1scvarpw.f . . . . . . . 8 𝐹 = (.g𝑀)
53 evl1scvarpw.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
5439fveq2i 6774 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5553, 54eqtri 2768 . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5655fveq2i 6774 . . . . . . . 8 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5752, 56eqtri 2768 . . . . . . 7 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
5958eqcomd 2746 . . . . 5 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = 𝐹)
6059oveqd 7288 . . . 4 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6151, 60eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6250, 61oveq12d 7289 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
6337, 48, 623eqtrd 2784 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  {csn 4567   × cxp 5588  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cn0 12233  Basecbs 16910  .rcmulr 16961  Scalarcsca 16963   ·𝑠 cvsca 16964  s cpws 17155  Mndcmnd 18383  .gcmg 18698  mulGrpcmgp 19718  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782   RingHom crh 19954  LModclmod 20121  AssAlgcasa 21055  algSccascl 21057  var1cv1 21345  Poly1cpl1 21346  eval1ce1 21478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-srg 19740  df-ring 19783  df-cring 19784  df-rnghom 19957  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-assa 21058  df-asp 21059  df-ascl 21060  df-psr 21110  df-mvr 21111  df-mpl 21112  df-opsr 21114  df-evls 21280  df-evl 21281  df-psr1 21349  df-vr1 21350  df-ply1 21351  df-evls1 21479  df-evl1 21480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator