Theorem evl1scvarpw 22494

Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpw.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1scvarpw.t2	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
evl1scvarpw.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1varpw.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1assa 22330	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
5		evl1scvarpw.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		evl1varpw.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	eleqtrdi 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8	2	ply1sca 22383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
9	8	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
11	10	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
12	7, 11	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
14		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	13, 14	mgpbas 20223	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
16		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		crngring 20329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	2	ply1ring 22378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
21	13	ringmgp 20323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23		evl1varpw.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		evl1varpw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
25	24, 2, 14	vr1cl 22348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
26	18, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27	15, 16, 22, 23, 26	mulgnn0cld 19163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
29		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
32		evl1scvarpw.t1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
33	28, 29, 30, 14, 31, 32	asclmul1 22007	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
34	4, 12, 27, 33	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
35	34	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)))
36	35	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))))
37		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
38		evl1scvarpw.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
39	37, 2, 38, 6	evl1rhm 22463	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
40	1, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
41	2	ply1lmod 22382	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
42	18, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
43	28, 29, 20, 42, 30, 14	asclf 22002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
44	43, 12	ffvelcdmd 7083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
45		evl1scvarpw.t2	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
46	14, 31, 45	rhmmul 20570	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
47	40, 44, 27, 46	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
48	37, 2, 6, 28	evl1sca 22465	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
49	1, 5, 48	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
50	37, 2, 13, 24, 6, 16, 1, 23	evl1varpw 22492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
51		evl1scvarpw.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)
52		evl1scvarpw.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
53	38	fveq2i 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
54	52, 53	eqtri 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
55	54	fveq2i 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	51, 55	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
58	57	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = 𝐹)
59	58	oveqd 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
60	50, 59	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
61	49, 60	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))
62	36, 47, 61	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   × cxp 5662  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17271  ._rcmulr 17313  Scalarcsca 17315   ·_𝑠 cvsca 17316   ↑_s cpws 17501  Mndcmnd 18794  ._gcmg 19135  mulGrpcmgp 20218  Ringcrg 20317  CRingccrg 20318   RingHom crh 20553  LModclmod 20961  AssAlgcasa 21971  algSccascl 21973  var₁cv1 22307  Poly₁cpl1 22308  eval₁ce1 22445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-srg 20271  df-ring 20319  df-cring 20320  df-rhm 20556  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-assa 21974  df-asp 21975  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-mvr 22031  df-mpl 22032  df-opsr 22034  df-evls 22196  df-evl 22197  df-psr1 22311  df-vr1 22312  df-ply1 22313  df-evls1 22446  df-evl1 22447

This theorem is referenced by: (None)