Theorem evl1scvarpw 22226

Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpw.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1scvarpw.t2	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
evl1scvarpw.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1varpw.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1assa 22060	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
5		evl1scvarpw.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		evl1varpw.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8	2	ply1sca 22113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
9	8	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
11	10	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
12	7, 11	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	13, 14	mgpbas 20030	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
16		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		crngring 20130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	2	ply1ring 22108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
21	13	ringmgp 20124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23		evl1varpw.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		evl1varpw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
25	24, 2, 14	vr1cl 22078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
26	18, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27	15, 16, 22, 23, 26	mulgnn0cld 19003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
29		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
32		evl1scvarpw.t1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
33	28, 29, 30, 14, 31, 32	asclmul1 21771	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
34	4, 12, 27, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
35	34	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)))
36	35	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))))
37		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
38		evl1scvarpw.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
39	37, 2, 38, 6	evl1rhm 22195	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
40	1, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
41	2	ply1lmod 22112	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
42	18, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
43	28, 29, 20, 42, 30, 14	asclf 21767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
44	43, 12	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
45		evl1scvarpw.t2	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
46	14, 31, 45	rhmmul 20371	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
47	40, 44, 27, 46	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
48	37, 2, 6, 28	evl1sca 22197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
49	1, 5, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
50	37, 2, 13, 24, 6, 16, 1, 23	evl1varpw 22224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
51		evl1scvarpw.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)
52		evl1scvarpw.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
53	38	fveq2i 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
54	52, 53	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
55	54	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	51, 55	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
58	57	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = 𝐹)
59	58	oveqd 7386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
60	50, 59	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
61	49, 60	oveq12d 7387	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))
62	36, 47, 61	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200   ↑_s cpws 17385  Mndcmnd 18637  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  LModclmod 20742  AssAlgcasa 21735  algSccascl 21737  var₁cv1 22036  Poly₁cpl1 22037  eval₁ce1 22177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-evls1 22178  df-evl1 22179

This theorem is referenced by: (None)