Theorem evl1scvarpw 22286

Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpw.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1scvarpw.t2	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
evl1scvarpw.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1varpw.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1assa 22122	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
5		evl1scvarpw.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		evl1varpw.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	eleqtrdi 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8	2	ply1sca 22175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
9	8	eqcomd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
11	10	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
12	7, 11	eleqtrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
14		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	13, 14	mgpbas 20079	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
16		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		crngring 20184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	2	ply1ring 22170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
21	13	ringmgp 20178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23		evl1varpw.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		evl1varpw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
25	24, 2, 14	vr1cl 22140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
26	18, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27	15, 16, 22, 23, 26	mulgnn0cld 19049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
29		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
32		evl1scvarpw.t1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
33	28, 29, 30, 14, 31, 32	asclmul1 21818	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
34	4, 12, 27, 33	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
35	34	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)))
36	35	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))))
37		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
38		evl1scvarpw.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
39	37, 2, 38, 6	evl1rhm 22255	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
40	1, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
41	2	ply1lmod 22174	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
42	18, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
43	28, 29, 20, 42, 30, 14	asclf 21814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
44	43, 12	ffvelcdmd 7088	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
45		evl1scvarpw.t2	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
46	14, 31, 45	rhmmul 20424	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
47	40, 44, 27, 46	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
48	37, 2, 6, 28	evl1sca 22257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
49	1, 5, 48	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
50	37, 2, 13, 24, 6, 16, 1, 23	evl1varpw 22284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
51		evl1scvarpw.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)
52		evl1scvarpw.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
53	38	fveq2i 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
54	52, 53	eqtri 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
55	54	fveq2i 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	51, 55	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
58	57	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = 𝐹)
59	58	oveqd 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
60	50, 59	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
61	49, 60	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))
62	36, 47, 61	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4625   × cxp 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℕ₀cn0 12497  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   ↑_s cpws 17422  Mndcmnd 18688  ._gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20407  LModclmod 20742  AssAlgcasa 21783  algSccascl 21785  var₁cv1 22098  Poly₁cpl1 22099  eval₁ce1 22237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-evls1 22238  df-evl1 22239

This theorem is referenced by: (None)