Theorem evl1scvarpw 22591

Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpw.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
evl1scvarpw.t2	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
evl1scvarpw.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evl1varpw.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1assa 22427	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
5		evl1scvarpw.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		evl1varpw.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
8	2	ply1sca 22480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
9	8	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
11	10	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
12	7, 11	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	13, 14	mgpbas 20281	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
16		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
17		crngring 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
19	2	ply1ring 22475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
21	13	ringmgp 20381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
23		evl1varpw.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		evl1varpw.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
25	24, 2, 14	vr1cl 22445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
26	18, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
27	15, 16, 22, 23, 26	mulgnn0cld 19221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
30		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
32		evl1scvarpw.t1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
33	28, 29, 30, 14, 31, 32	asclmul1 22104	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
34	4, 12, 27, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))
35	34	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋)))
36	35	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))))
37		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
38		evl1scvarpw.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↑s 𝐵)
39	37, 2, 38, 6	evl1rhm 22560	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
40	1, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
41	2	ply1lmod 22479	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
42	18, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
43	28, 29, 20, 42, 30, 14	asclf 22099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
44	43, 12	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
45		evl1scvarpw.t2	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
46	14, 31, 45	rhmmul 20634	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
47	40, 44, 27, 46	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r‘𝑊)(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))))
48	37, 2, 6, 28	evl1sca 22562	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
49	1, 5, 48	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
50	37, 2, 13, 24, 6, 16, 1, 23	evl1varpw 22589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
51		evl1scvarpw.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑀)
52		evl1scvarpw.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
53	38	fveq2i 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
54	52, 53	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))
55	54	fveq2i 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
56	51, 55	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))))
58	57	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵))) = 𝐹)
59	58	oveqd 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
60	50, 59	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋)))
61	49, 60	oveq12d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) ∙ (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))
62	36, 47, 61	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) ∙ (𝑁𝐹(𝑄‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349   ↑_s cpws 17534  Mndcmnd 18839  ._gcmg 19193  mulGrpcmgp 20276  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376   RingHom crh 20613  LModclmod 21047  AssAlgcasa 22068  algSccascl 22070  var₁cv1 22404  Poly₁cpl1 22405  eval₁ce1 22542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-srg 20329  df-ring 20377  df-cring 20378  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-assa 22071  df-asp 22072  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-evls 22293  df-evl 22294  df-psr1 22408  df-vr1 22409  df-ply1 22410  df-evls1 22543  df-evl1 22544

This theorem is used by: (None)