MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scvarpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1scvarpw 20228
Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1varpw.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1varpw.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
evl1varpw.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e = (.g𝐺)
evl1varpw.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1 × = ( ·𝑠𝑊)
evl1scvarpw.a (𝜑𝐴𝐵)
evl1scvarpw.s 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
evl1scvarpw.t2 = (.r𝑆)
evl1scvarpw.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f 𝐹 = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1scvarpw (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1varpw.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑅)
32ply1assa 20070 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ AssAlg)
5 evl1scvarpw.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 evl1varpw.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
75, 6syl6eleq 2876 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
82ply1sca 20124 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
98eqcomd 2784 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
1110fveq2d 6503 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
127, 11eleqtrrd 2869 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13 crngring 19031 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
152ply1ring 20119 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
17 evl1varpw.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
1817ringmgp 19026 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 evl1varpw.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 evl1varpw.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
22 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2321, 2, 22vr1cl 20088 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2414, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2517, 22mgpbas 18968 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
26 evl1varpw.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
2725, 26mulgnn0cl 18029 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
2819, 20, 24, 27syl3anc 1351 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2778 . . . . . 6 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
30 eqid 2778 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
31 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2778 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
33 evl1scvarpw.t1 . . . . . 6 × = ( ·𝑠𝑊)
3429, 30, 31, 22, 32, 33asclmul1 19833 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
354, 12, 28, 34syl3anc 1351 . . . 4 (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
3635eqcomd 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)))
3736fveq2d 6503 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))))
38 evl1varpw.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
39 evl1scvarpw.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
4038, 2, 39, 6evl1rhm 20197 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
411, 40syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
422ply1lmod 20123 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
4314, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4429, 30, 16, 43, 31, 22asclf 19831 . . . 4 (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
4544, 12ffvelrnd 6677 . . 3 (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
46 evl1scvarpw.t2 . . . 4 = (.r𝑆)
4722, 32, 46rhmmul 19202 . . 3 ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4841, 45, 28, 47syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4938, 2, 6, 29evl1sca 20199 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
501, 5, 49syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
5138, 2, 17, 21, 6, 26, 1, 20evl1varpw 20226 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))
52 evl1scvarpw.f . . . . . . . 8 𝐹 = (.g𝑀)
53 evl1scvarpw.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
5439fveq2i 6502 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5553, 54eqtri 2802 . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5655fveq2i 6502 . . . . . . . 8 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5752, 56eqtri 2802 . . . . . . 7 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
5958eqcomd 2784 . . . . 5 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = 𝐹)
6059oveqd 6993 . . . 4 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6151, 60eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6250, 61oveq12d 6994 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
6337, 48, 623eqtrd 2818 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  {csn 4441   × cxp 5405  cfv 6188  (class class class)co 6976  0cn0 11707  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  Scalarcsca 16424   ·𝑠 cvsca 16425  s cpws 16576  Mndcmnd 17762  .gcmg 18011  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021   RingHom crh 19187  LModclmod 19356  AssAlgcasa 19803  algSccascl 19805  var1cv1 20047  Poly1cpl1 20048  eval1ce1 20180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-srg 18979  df-ring 19022  df-cring 19023  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-assa 19806  df-asp 19807  df-ascl 19808  df-psr 19850  df-mvr 19851  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-evls 19999  df-evl 20000  df-psr1 20051  df-vr1 20052  df-ply1 20053  df-evls1 20181  df-evl1 20182
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator