Theorem evl1vsd 22533

Description: Polynomial evaluation builder for scalar multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1addd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1addd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1addd.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1vsd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evl1vsd.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
evl1vsd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1vsd	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉)))

Proof of Theorem evl1vsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.q	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1addd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1addd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		evl1addd.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		evl1addd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1addd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
8		evl1vsd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 7, 4, 5, 8, 6	evl1scad 22524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑁))‘𝑌) = 𝑁))
10		evl1addd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12		evl1vsd.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12	evl1muld 22532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉)))
14	2	ply1assa 22388	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
15	5, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
16	2	ply1sca 22441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
17	5, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
18	17	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
19	3, 18	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
20	8, 19	eleqtrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
21	10	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		evl1vsd.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25	7, 22, 23, 4, 11, 24	asclmul1 22065	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑁 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀) = (𝑁 ∙ 𝑀))
26	15, 20, 21, 25	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀) = (𝑁 ∙ 𝑀))
27	26	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀) ∈ 𝑈 ↔ (𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈))
28	26	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀)) = (𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀)))
29	28	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌))
30	29	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉) ↔ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉)))
31	27, 30	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑁)(.r‘𝑃)𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉)) ↔ ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉))))
32	13, 31	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑁 ∙ 𝑀))‘𝑌) = (𝑁 · 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  ._rcmulr 17328  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  CRingccrg 20339  AssAlgcasa 22029  algSccascl 22031  Poly₁cpl1 22366  eval₁ce1 22503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-assa 22032  df-asp 22033  df-ascl 22034  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-opsr 22092  df-evls 22254  df-evl 22255  df-psr1 22369  df-ply1 22371  df-evl1 22505

This theorem is used by:  evl1scvarpwval  22553  evls1vsca  22562  fta1blem  26357  plypf1  26398