Theorem baerlem3 41678

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Part (3) in [Baer] p. 45. TODO fix ref. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
baerlem3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑊)
3		baerlem3.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		baerlem3.s	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		baerlem3.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		baerlem3.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		baerlem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9		baerlem3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10		baerlem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		baerlem3.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2735	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2735	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17		eqid 2735	. 2 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19		eqid 2735	. 2 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	baerlem3lem2 41675	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925  {csn 4601  {cpr 4603  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  0_gc0g 17451  inv_gcminusg 18915  -_gcsg 18916  LSSumclsm 19613  LSpanclspn 20926  LVecclvec 21058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19104  df-cntz 19298  df-lsm 19615  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-drng 20689  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059

This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  41696