Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem3 40387
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Part (3) in [Baer] p. 45. TODO fix ref. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
baerlem3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))

Proof of Theorem baerlem3
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.m . 2 = (-g𝑊)
3 baerlem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
4 baerlem3.s . 2 = (LSSum‘𝑊)
5 baerlem3.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 baerlem3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 baerlem3.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
8 baerlem3.c . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9 baerlem3.d . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10 baerlem3.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 baerlem3.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 eqid 2731 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
13 eqid 2731 . 2 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2731 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2731 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2731 . 2 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17 eqid 2731 . 2 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2731 . 2 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19 eqid 2731 . 2 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem3lem2 40384 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cdif 3941  cin 3943  {csn 4622  {cpr 4624  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  0gc0g 17367  invgcminusg 18795  -gcsg 18796  LSSumclsm 19466  LSpanclspn 20531  LVecclvec 20662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  40405
  Copyright terms: Public domain W3C validator