Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5a 41696
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. First equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5a (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5a
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.m . 2 = (-g𝑊)
3 baerlem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
4 baerlem3.s . 2 = (LSSum‘𝑊)
5 baerlem3.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 baerlem3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 baerlem3.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
8 baerlem3.c . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9 baerlem3.d . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10 baerlem3.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 baerlem3.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 baerlem5a.p . 2 + = (+g𝑊)
13 eqid 2734 . 2 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2734 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2734 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2734 . 2 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17 eqid 2734 . 2 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2734 . 2 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19 eqid 2734 . 2 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem5alem2 41693 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cin 3961  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  invgcminusg 18964  -gcsg 18965  LSSumclsm 19666  LSpanclspn 20986  LVecclvec 21118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119
This theorem is referenced by:  baerlem5amN  41698  baerlem5abmN  41700  mapdh6lem1N  41715  hdmap1l6lem1  41789
  Copyright terms: Public domain W3C validator