Theorem baerlem5a 42162

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. First equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑊)
3		baerlem3.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		baerlem3.s	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		baerlem3.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		baerlem3.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		baerlem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9		baerlem3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10		baerlem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		baerlem3.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		baerlem5a.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17		eqid 2737	. 2 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19		eqid 2737	. 2 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	baerlem5alem2 42159	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  Basecbs 17181  +_gcplusg 17222  Scalarcsca 17225   ·_𝑠 cvsca 17226  0_gc0g 17404  inv_gcminusg 18912  -_gcsg 18913  LSSumclsm 19611  LSpanclspn 20968  LVecclvec 21099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-0g 17406  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-grp 18914  df-minusg 18915  df-sbg 18916  df-subg 19101  df-cntz 19294  df-lsm 19613  df-cmn 19759  df-abl 19760  df-mgp 20124  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20319  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100

This theorem is referenced by:  baerlem5amN  42164  baerlem5abmN  42166  mapdh6lem1N  42181  hdmap1l6lem1  42255