Theorem baerlem5a 41681

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. First equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑊)
3		baerlem3.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		baerlem3.s	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		baerlem3.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		baerlem3.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		baerlem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9		baerlem3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10		baerlem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		baerlem3.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		baerlem5a.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17		eqid 2729	. 2 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19		eqid 2729	. 2 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	baerlem5alem2 41678	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ⊕ (𝑁‘{𝑌}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  LSSumclsm 19540  LSpanclspn 20853  LVecclvec 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986

This theorem is referenced by:  baerlem5amN  41683  baerlem5abmN  41685  mapdh6lem1N  41700  hdmap1l6lem1  41774