Theorem bcn0 14320

Description: 𝑁 choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 13644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		bcval2 14315	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
4		nn0cn 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
6	5	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁))
7		fac0 14286	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
8		oveq12 7423	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁) ∧ (!‘0) = 1) → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
9	6, 7, 8	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
10		faccl 14293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
12	11	mulridd 11270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
13	9, 12	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = (!‘𝑁))
14	13	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)))
15		facne0 14296	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
16	11, 15	dividd 12031	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = 1)
18	3, 17	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152   − cmin 11483   / cdiv 11910  ℕ₀cn0 12516  ...cfz 13530  !cfa 14283  Ccbc 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-seq 14014  df-fac 14284  df-bc 14313

This theorem is referenced by:  bcnn  14322  bcpasc  14331  bccl  14332  hashbc  14463  hashf1  14469  binom  15827  bcxmas  15832  bpoly1  16046  bpoly2  16052  bpoly3  16053  bpoly4  16054  sylow1lem1  19590  srgbinom  20208  freshmansdream  21566  bclbnd  27304  dvnmul  45598