Theorem bcn0 13346

Description: 𝑁 choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 12687	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		bcval2 13341	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
4		nn0cn 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 10671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
6	5	fveq2d 6413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁))
7		fac0 13312	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
8		oveq12 6885	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁) ∧ (!‘0) = 1) → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
9	6, 7, 8	sylancl 581	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
10		faccl 13319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 11328	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
12	11	mulid1d 10344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
13	9, 12	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = (!‘𝑁))
14	13	oveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)))
15		facne0 13322	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
16	11, 15	dividd 11089	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = 1)
18	3, 17	eqtrd 2831	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227   − cmin 10554   / cdiv 10974  ℕ₀cn0 11576  ...cfz 12576  !cfa 13309  Ccbc 13338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-seq 13052  df-fac 13310  df-bc 13339

This theorem is referenced by:  bcnn  13348  bcpasc  13357  bccl  13358  hashbc  13482  hashf1  13486  binom  14897  bcxmas  14902  bpoly1  15115  bpoly2  15121  bpoly3  15122  bpoly4  15123  sylow1lem1  18323  srgbinom  18858  bclbnd  25354  dvnmul  40890