Theorem bcn0 14251

Description: 𝑁 choose 0 is 1. Remark in [Gleason] p. 296. (Contributed by NM, 17-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Proof of Theorem bcn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elfz 13561	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
2		bcval2 14246	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))))
4		nn0cn 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	subid1d 11498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
6	5	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁))
7		fac0 14217	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
8		oveq12 7378	. . . . . 6 ⊢ (((!‘(𝑁 − 0)) = (!‘𝑁) ∧ (!‘0) = 1) → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = ((!‘𝑁) · 1))
10		faccl 14224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12178	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
12	11	mulridd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
13	9, 12	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0)) = (!‘𝑁))
14	13	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)))
15		facne0 14227	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≠ 0)
16	11, 15	dividd 11932	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / (!‘𝑁)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 0)) · (!‘0))) = 1)
18	3, 17	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  !cfa 14214  Ccbc 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-fac 14215  df-bc 14244

This theorem is referenced by:  bcnn  14253  bcpasc  14262  bccl  14263  hashbc  14394  hashf1  14398  binom  15772  bcxmas  15777  bpoly1  15993  bpoly2  15999  bpoly3  16000  bpoly4  16001  sylow1lem1  19504  srgbinom  20116  freshmansdream  21460  bclbnd  27167  dvnmul  45914