Theorem bezoutr1 16633

Description: Converse of bezout 16607 for when the greater common divisor is one (sufficient condition for relative primality). (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr1	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem bezoutr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutr 16632	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1)
4	2, 3	breqtrd 5136	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1)
5		gcdcl 16570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
8		1nn 12250	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → 1 ∈ ℕ)
10		dvdsle 16374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
11	7, 9, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
12	4, 11	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1)
13		simpll 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
14		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
16	14, 15	oveqan12d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))
17		zcn 12602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0 · 𝑋) = 0)
19		zcn 12602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (0 · 𝑌) = 0)
21	18, 20	oveqan12d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (0 + 0))
22	16, 21	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + 0))
23		00id 11391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
25	24	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
26		0ne1 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 0 ≠ 1)
28	25, 27	eqnetrd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1)
29	28	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1))
30	29	necon2bd 2973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32		gcdn0cl 16566	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
33	13, 31, 32	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
34		nnle1eq1 12272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
36	12, 35	mpbid 235	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
37	36	ex 417	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   ≤ cle 11250  ℕcn 12239  ℤcz 12597   ∥ cdvds 16316   gcd cgcd 16558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559

This theorem is used by:  divgcdcoprm0  16729  primrootscoprbij  42897  jm2.19lem1  43744