Theorem bezoutr1 16533

Description: Converse of bezout 16507 for when the greater common divisor is one (sufficient condition for relative primality). (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutr1	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem bezoutr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutr 16532	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)))
3		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1)
4	2, 3	breqtrd 5100	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1)
5		gcdcl 16470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12544	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
8		1nn 12180	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → 1 ∈ ℕ)
10		dvdsle 16274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
11	7, 9, 10	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 1 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1))
12	4, 11	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1)
13		simpll 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
14		oveq1 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15		oveq1 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
16	14, 15	oveqan12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))
17		zcn 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0 · 𝑋) = 0)
19		zcn 12524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (0 · 𝑌) = 0)
21	18, 20	oveqan12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((0 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (0 + 0))
22	16, 21	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = (0 + 0))
23		00id 11317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
25	24	adantll 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 0)
26		0ne1 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → 0 ≠ 1)
28	25, 27	eqnetrd 3003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1)
29	28	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) ≠ 1))
30	29	necon2bd 2952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
31	30	imp 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
32		gcdn0cl 16466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
33	13, 31, 32	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
34		nnle1eq1 12202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
36	12, 35	mpbid 234	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
37	36	ex 414	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 1 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039   ≤ cle 11176  ℕcn 12169  ℤcz 12519   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459

This theorem is referenced by:  divgcdcoprm0  16629  primrootscoprbij  42600  jm2.19lem1  43447