MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutr1 16452
Description: Converse of bezout 16431 for when the greater common divisor is one (sufficient condition for relative primality). (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezoutr1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1))

Proof of Theorem bezoutr1
StepHypRef Expression
1 bezoutr 16451 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)))
21adantr 482 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)))
3 simpr 486 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1)
42, 3breqtrd 5136 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ 1)
5 gcdcl 16393 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
65nn0zd 12532 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
76ad2antrr 725 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
8 1nn 12171 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
98a1i 11 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
10 dvdsle 16199 . . . . 5 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ 1 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰ค 1))
117, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ 1 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰ค 1))
124, 11mpd 15 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰ค 1)
13 simpll 766 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค))
14 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
15 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = 0 โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) = (0 ยท ๐‘Œ))
1614, 15oveqan12d 7381 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ((0 ยท ๐‘‹) + (0 ยท ๐‘Œ)))
17 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
1817mul02d 11360 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = 0)
19 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
2019mul02d 11360 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 ยท ๐‘Œ) = 0)
2118, 20oveqan12d 7381 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) + (0 ยท ๐‘Œ)) = (0 + 0))
2216, 21sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = (0 + 0))
23 00id 11337 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
2422, 23eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 0)
2524adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 0)
26 0ne1 12231 . . . . . . . . . 10 0 โ‰  1
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ 0 โ‰  1)
2825, 27eqnetrd 3012 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) โ‰  1)
2928ex 414 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) โ‰  1))
3029necon2bd 2960 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1 โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
3130imp 408 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
32 gcdn0cl 16389 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
3313, 31, 32syl2anc 585 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
34 nnle1eq1 12190 . . . 4 ((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โ‰ค 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
3533, 34syl 17 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โ‰ค 1 โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
3612, 35mpbid 231 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
3736ex 414 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  divgcdcoprm0  16548  jm2.19lem1  41342
  Copyright terms: Public domain W3C validator