Theorem climrecf 41883

Description: A version of climrec 41877 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climrecf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climrecf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climrecf.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecf.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrecf.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrecf.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrecf.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrecf.10	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrecf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrecf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecf.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecf.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrecf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climrecf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		climrecf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		nfv 1911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
8		climrecf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
9		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	8, 9	nffv 6674	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
11	10	nfel1 2994	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})
12	7, 11	nfim 1893	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		eleq1w 2895	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
14	13	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
15		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
16	15	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})))
17	14, 16	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0})) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
18		climrecf.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	12, 17, 18	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20		climrecf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
21	20, 9	nffv 6674	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
22		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘1
23		nfcv 2977	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 /
24	22, 23, 10	nfov 7180	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / (𝐺‘𝑗))
25	21, 24	nfeq 2991	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))
26	7, 25	nfim 1893	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
27		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
28	15	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / (𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
29	27, 28	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))))
30	14, 29	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))))
31		climrecf.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
32	26, 30, 31	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
33		climrecf.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
34	1, 2, 3, 4, 19, 32, 33	climrec 41877	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2961   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932  {csn 4560   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   / cdiv 11291  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237   ⇝ cli 14835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839

This theorem is referenced by:  climdivf  41886