Theorem climrecf 45135

Description: A version of climrec 45129 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climrecf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climrecf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climrecf.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecf.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrecf.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrecf.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrecf.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrecf.10	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrecf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrecf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecf.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecf.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrecf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climrecf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		climrecf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
8		climrecf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
9		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	8, 9	nffv 6906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
11	10	nfel1 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})
12	7, 11	nfim 1891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		eleq1w 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
14	13	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
15		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
16	15	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})))
17	14, 16	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0})) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
18		climrecf.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	12, 17, 18	chvarfv 2228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20		climrecf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
21	20, 9	nffv 6906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
22		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘1
23		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 /
24	22, 23, 10	nfov 7449	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / (𝐺‘𝑗))
25	21, 24	nfeq 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))
26	7, 25	nfim 1891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
27		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
28	15	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / (𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
29	27, 28	eqeq12d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))))
30	14, 29	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))))
31		climrecf.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
32	26, 30, 31	chvarfv 2228	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
33		climrecf.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
34	1, 2, 3, 4, 19, 32, 33	climrec 45129	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3941  {csn 4630   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   / cdiv 11903  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855   ⇝ cli 15464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468

This theorem is referenced by:  climdivf  45138