Theorem climrecf 45565

Description: A version of climrec 45559 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climrecf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climrecf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climrecf.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecf.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrecf.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrecf.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrecf.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrecf.10	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrecf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrecf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecf.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecf.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrecf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climrecf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		climrecf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
8		climrecf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
9		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	8, 9	nffv 6917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
11	10	nfel1 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})
12	7, 11	nfim 1894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		eleq1w 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
14	13	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
15		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
16	15	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})))
17	14, 16	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0})) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
18		climrecf.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	12, 17, 18	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20		climrecf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
21	20, 9	nffv 6917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
22		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘1
23		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 /
24	22, 23, 10	nfov 7461	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / (𝐺‘𝑗))
25	21, 24	nfeq 2917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))
26	7, 25	nfim 1894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
27		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
28	15	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / (𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
29	27, 28	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))))
30	14, 29	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))))
31		climrecf.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
32	26, 30, 31	chvarfv 2238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
33		climrecf.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
34	1, 2, 3, 4, 19, 32, 33	climrec 45559	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   / cdiv 11918  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521

This theorem is referenced by:  climdivf  45568