Theorem climrecf 45614

Description: A version of climrec 45608 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climrecf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climrecf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climrecf.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecf.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrecf.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrecf.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrecf.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrecf.10	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrecf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrecf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecf.4	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrecf.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrecf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climrecf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		climrecf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
8		climrecf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
9		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	8, 9	nffv 6871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
11	10	nfel1 2909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})
12	7, 11	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		eleq1w 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
14	13	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
15		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
16	15	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0})))
17	14, 16	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0})) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
18		climrecf.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
19	12, 17, 18	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20		climrecf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
21	20, 9	nffv 6871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
22		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘1
23		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 /
24	22, 23, 10	nfov 7420	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(1 / (𝐺‘𝑗))
25	21, 24	nfeq 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))
26	7, 25	nfim 1896	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
27		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
28	15	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (1 / (𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
29	27, 28	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗))))
30	14, 29	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))))
31		climrecf.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
32	26, 30, 31	chvarfv 2241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = (1 / (𝐺‘𝑗)))
33		climrecf.10	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
34	1, 2, 3, 4, 19, 32, 33	climrec 45608	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  {csn 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   / cdiv 11842  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461

This theorem is referenced by:  climdivf  45617