MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkclwwlkf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkclwwlkf1o 29938
Description: 𝐹 is a bijection between the nonempty closed walks and the closed walks as words in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jul-2018.) (Revised by AV, 3-May-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlkf.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑤))}
clwlkclwwlkf.f 𝐹 = (𝑐𝐶 ↦ ((2nd𝑐) prefix ((♯‘(2nd𝑐)) − 1)))
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlkf1o (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐹:𝐶1-1-onto→(ClWWalks‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺,𝑐   𝐶,𝑐,𝑤   𝐹,𝑐,𝑤

Proof of Theorem clwlkclwwlkf1o
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlkf.c . . 3 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ 1 ≤ (♯‘(1st𝑤))}
2 clwlkclwwlkf.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝐶 ↦ ((2nd𝑐) prefix ((♯‘(2nd𝑐)) − 1)))
31, 2clwlkclwwlkf1 29937 . 2 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐹:𝐶1-1→(ClWWalks‘𝐺))
41, 2clwlkclwwlkfo 29936 . 2 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐹:𝐶onto→(ClWWalks‘𝐺))
5 df-f1o 6550 . 2 (𝐹:𝐶1-1-onto→(ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝐹:𝐶1-1→(ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐶onto→(ClWWalks‘𝐺)))
63, 4, 5sylanbrc 581 1 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐹:𝐶1-1-onto→(ClWWalks‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419   class class class wbr 5143  cmpt 5226  1-1wf1 6540  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7413  1st c1st 7990  2nd c2nd 7991  1c1 11147  cle 11287  cmin 11482  chash 14339   prefix cpfx 14670  USPGraphcuspgr 29078  ClWalkscclwlks 29701  ClWWalkscclwwlk 29908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-n0 12516  df-xnn0 12588  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-hash 14340  df-word 14515  df-lsw 14563  df-concat 14571  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-edg 28978  df-uhgr 28988  df-upgr 29012  df-uspgr 29080  df-wlks 29530  df-clwlks 29702  df-clwwlk 29909
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlken  29939  clwlknf1oclwwlkn  30011
  Copyright terms: Public domain W3C validator