Theorem cnfldneg 21172

Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldneg	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Proof of Theorem cnfldneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11512	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -𝑋) = 0)
2		negcl 11465	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
3		cnring 21168	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringgrp 20133	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
6		cnfldbas 21149	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21150	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		cnfld0 21170	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 18913	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
11	5, 10	mp3an1 1447	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
12	2, 11	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
13	1, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117  -cneg 11450  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  Ringcrg 20128  ℂ_fldccnfld 21145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ring 20130  df-cring 20131  df-cnfld 21146

This theorem is referenced by:  cnfldsub  21174  cnfldmulg  21178  cnsubglem  21195  zringlpirlem1  21234  prmirred  21246  clmneg  24829  cnncvsabsnegdemo  24914  cphsqrtcl3  24936  taylply2  26117  qrngneg  27363  rngunsnply  42218