Theorem cnfldneg 21391

Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldneg	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Proof of Theorem cnfldneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11438	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -𝑋) = 0)
2		negcl 11390	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
3		cnring 21386	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringgrp 20216	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
6		cnfldbas 21354	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21356	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		cnfld0 21388	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 18964	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
11	5, 10	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
12	2, 11	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
13	1, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℂcc 11033  0cc0 11035   + caddc 11038  -cneg 11375  Grpcgrp 18906  inv_gcminusg 18907  Ringcrg 20211  ℂ_fldccnfld 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-addf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-cmn 19754  df-mgp 20119  df-ring 20213  df-cring 20214  df-cnfld 21351

This theorem is referenced by:  cnfldsub  21393  cnfldmulg  21399  cnsubglem  21411  zringlpirlem1  21458  prmirred  21470  clmneg  25064  cnncvsabsnegdemo  25148  cphsqrtcl3  25170  taylply2  26350  taylply2OLD  26351  qrngneg  27606  constrsdrg  33941  rngunsnply  43623