MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldneg 20489
Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfldneg (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Proof of Theorem cnfldneg
StepHypRef Expression
1 negid 10925 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -𝑋) = 0)
2 negcl 10878 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
3 cnring 20485 . . . . 5 fld ∈ Ring
4 ringgrp 19224 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
6 cnfldbas 20467 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
7 cnfldadd 20468 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
8 cnfld0 20487 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
9 eqid 2825 . . . . 5 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
106, 7, 8, 9grpinvid1 18086 . . . 4 ((ℂfld ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
115, 10mp3an1 1441 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
122, 11mpdan 683 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
131, 12mpbird 258 1 (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532  -cneg 10863  Grpcgrp 18035  invgcminusg 18036  Ringcrg 19219  fldccnfld 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ring 19221  df-cring 19222  df-cnfld 20464
This theorem is referenced by:  cnfldsub  20491  cnfldmulg  20495  cnsubglem  20512  zringlpirlem1  20549  prmirred  20560  clmneg  23602  cnncvsabsnegdemo  23686  cphsqrtcl3  23708  taylply2  24873  qrngneg  26115  rngunsnply  39640
  Copyright terms: Public domain W3C validator