Theorem cnfldneg 20956

Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldneg	⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Proof of Theorem cnfldneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11503	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -𝑋) = 0)
2		negcl 11456	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
3		cnring 20952	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringgrp 20052	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
6		cnfldbas 20933	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 20934	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		cnfld0 20954	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 18872	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
11	5, 10	mp3an1 1449	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ -𝑋 ∈ ℂ) → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
12	2, 11	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋 ↔ (𝑋 + -𝑋) = 0))
13	1, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑋) = -𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109  -cneg 11441  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  Ringcrg 20047  ℂ_fldccnfld 20929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ring 20049  df-cring 20050  df-cnfld 20930

This theorem is referenced by:  cnfldsub  20958  cnfldmulg  20962  cnsubglem  20979  zringlpirlem1  21016  prmirred  21028  clmneg  24579  cnncvsabsnegdemo  24664  cphsqrtcl3  24686  taylply2  25862  qrngneg  27106  rngunsnply  41848