Theorem dflidl2lem 20842

Description: Lemma for dflidl2 20843: a sufficient condition for a set to be a left ideal. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dflidl2.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
dflidl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dflidl2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dflidl2lem	⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dflidl2lem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflidl2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	subgss 19007	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	4	subg0cl 19014	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
6	5	ne0d 4336	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ≠ ∅)
7	6	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
8		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	8	subgcl 19016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
10	9	ad4ant134 1175	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
11	10	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
12	11	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
13	12	ralimdvva 3205	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
14	13	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼)
15		dflidl2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
16		dflidl2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	15, 1, 8, 16	islidl 20834	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐼))
18	3, 7, 14, 17	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385  SubGrpcsubg 19000  LIdealclidl 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787

This theorem is referenced by:  dflidl2  20843