MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl1el 20704
Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lidlcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lidl1el.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lidl1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))

Proof of Theorem lidl1el
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlcl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 lidlcl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
31, 2lidlss 20696 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
43ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
5 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 lidl1el.o . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘…)
71, 5, 6ringridm 19998 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…) 1 ) = π‘Ž)
87ad2ant2rl 748 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…) 1 ) = π‘Ž)
92, 1, 5lidlmcl 20703 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…) 1 ) ∈ 𝐼)
109ancom2s 649 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…) 1 ) ∈ 𝐼)
118, 10eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
1211expr 458 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ 𝐼))
1312ssrdv 3951 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐼)
144, 13eqssd 3962 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ 1 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = 𝐡)
1514ex 414 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = 𝐡))
161, 6ringidcl 19994 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ 𝐡)
1716adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ 𝐡)
18 eleq2 2823 . . 3 (𝐼 = 𝐡 β†’ ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 1 ∈ 𝐡))
1917, 18syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 = 𝐡 β†’ 1 ∈ 𝐼))
2015, 19impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LIdealclidl 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651
This theorem is referenced by:  rsp1  20710  drngnidl  20715  pridln1  32263  mxidln1  32283  ssmxidllem  32286  uzlidlring  46313
  Copyright terms: Public domain W3C validator