Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl1el 19992
 Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidl1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
31, 2lidlss 19984 . . . . 5 (𝐼𝑈𝐼𝐵)
43ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼𝐵)
5 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 lidl1el.o . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
71, 5, 6ringridm 19326 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
87ad2ant2rl 748 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
92, 1, 5lidlmcl 19991 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑎𝐵1𝐼)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
109ancom2s 649 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
118, 10eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → 𝑎𝐼)
1211expr 460 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → (𝑎𝐵𝑎𝐼))
1312ssrdv 3921 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐵𝐼)
144, 13eqssd 3932 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
1514ex 416 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
161, 6ringidcl 19322 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
1716adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 1𝐵)
18 eleq2 2878 . . 3 (𝐼 = 𝐵 → ( 1𝐼1𝐵))
1917, 18syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 = 𝐵1𝐼))
2015, 19impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Basecbs 16482  .rcmulr 16565  1rcur 19252  Ringcrg 19298  LIdealclidl 19943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18276  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-subrg 19534  df-lmod 19637  df-lss 19705  df-sra 19945  df-rgmod 19946  df-lidl 19947 This theorem is referenced by:  rsp1  19998  drngnidl  20003  pridln1  31057  mxidln1  31077  ssmxidllem  31080  uzlidlring  44614
 Copyright terms: Public domain W3C validator