MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl1el 19712
Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidl1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
31, 2lidlss 19704 . . . . 5 (𝐼𝑈𝐼𝐵)
43ad2antlr 714 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼𝐵)
5 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 lidl1el.o . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
71, 5, 6ringridm 19045 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
87ad2ant2rl 736 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
92, 1, 5lidlmcl 19711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑎𝐵1𝐼)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
109ancom2s 637 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
118, 10eqeltrrd 2868 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → 𝑎𝐼)
1211expr 449 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → (𝑎𝐵𝑎𝐼))
1312ssrdv 3865 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐵𝐼)
144, 13eqssd 3876 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
1514ex 405 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
161, 6ringidcl 19041 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
1716adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 1𝐵)
18 eleq2 2855 . . 3 (𝐼 = 𝐵 → ( 1𝐼1𝐵))
1917, 18syl5ibrcom 239 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 = 𝐵1𝐼))
2015, 19impbid 204 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3830  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  1rcur 18974  Ringcrg 19020  LIdealclidl 19664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668
This theorem is referenced by:  rsp1  19718  drngnidl  19723  uzlidlring  43562
  Copyright terms: Public domain W3C validator