Theorem lidl1el 19712

Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 19704	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
4	3	ad2antlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
5		eqid 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		lidl1el.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	ringridm 19045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
8	7	ad2ant2rl 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
9	2, 1, 5	lidlmcl 19711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
10	9	ancom2s 637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
11	8, 10	eqeltrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
12	11	expr 449	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ 𝐼))
13	12	ssrdv 3865	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐵 ⊆ 𝐼)
14	4, 13	eqssd 3876	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
15	14	ex 405	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 → 𝐼 = 𝐵))
16	1, 6	ringidcl 19041	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2855	. . 3 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 1 ∈ 𝐵))
19	17, 18	syl5ibrcom 239	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 = 𝐵 → 1 ∈ 𝐼))
20	15, 19	impbid 204	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3830  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  ._rcmulr 16422  1_rcur 18974  Ringcrg 19020  LIdealclidl 19664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668

This theorem is referenced by:  rsp1  19718  drngnidl  19723  uzlidlring  43562