Theorem lidl1el 21169

Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 21155	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
4	3	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
5		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		lidl1el.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	ringridm 20194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
8	7	ad2ant2rl 749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
9	2, 1, 5	lidlmcl 21168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
10	9	ancom2s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
11	8, 10	eqeltrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
12	11	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ 𝐼))
13	12	ssrdv 3935	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐵 ⊆ 𝐼)
14	4, 13	eqssd 3947	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 → 𝐼 = 𝐵))
16	1, 6	ringidcl 20189	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2820	. . 3 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 1 ∈ 𝐵))
19	17, 18	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 = 𝐵 → 1 ∈ 𝐼))
20	15, 19	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  ._rcmulr 17168  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  LIdealclidl 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151

This theorem is referenced by:  rsp1  21180  drngnidl  21186  lidlunitel  33395  unitpidl1  33396  pridln1  33415  mxidln1  33438  ssmxidllem  33445  qsdrnglem2  33468  uzlidlring  48340