Theorem lidl1el 21253

Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		lidlcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	lidlss 21239	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
4	3	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
5		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		lidl1el.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 5, 6	ringridm 20283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
8	7	ad2ant2rl 749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑎)
9	2, 1, 5	lidlmcl 21252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
10	9	ancom2s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → (𝑎(.r‘𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
11	8, 10	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ( 1 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
12	11	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ 𝐼))
13	12	ssrdv 4000	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐵 ⊆ 𝐼)
14	4, 13	eqssd 4012	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 1 ∈ 𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
15	14	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 → 𝐼 = 𝐵))
16	1, 6	ringidcl 20279	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 1 ∈ 𝐵)
18		eleq2 2827	. . 3 ⊢ (𝐼 = 𝐵 → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 1 ∈ 𝐵))
19	17, 18	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 = 𝐵 → 1 ∈ 𝐼))
20	15, 19	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ( 1 ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298  1_rcur 20198  Ringcrg 20250  LIdealclidl 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235

This theorem is referenced by:  rsp1  21264  drngnidl  21270  lidlunitel  33430  unitpidl1  33431  pridln1  33450  mxidln1  33473  ssmxidllem  33480  qsdrnglem2  33503  uzlidlring  48078