MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl1el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidl1el 19421
Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidl1el.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidl1el ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))

Proof of Theorem lidl1el
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 lidlcl.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
31, 2lidlss 19413 . . . . 5 (𝐼𝑈𝐼𝐵)
43ad2antlr 709 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼𝐵)
5 eqid 2802 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 lidl1el.o . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
71, 5, 6ringridm 18768 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
87ad2ant2rl 746 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) = 𝑎)
92, 1, 5lidlmcl 19420 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ (𝑎𝐵1𝐼)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
109ancom2s 632 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → (𝑎(.r𝑅) 1 ) ∈ 𝐼)
118, 10eqeltrrd 2882 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ ( 1𝐼𝑎𝐵)) → 𝑎𝐼)
1211expr 446 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → (𝑎𝐵𝑎𝐼))
1312ssrdv 3798 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐵𝐼)
144, 13eqssd 3809 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 1𝐼) → 𝐼 = 𝐵)
1514ex 399 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
161, 6ringidcl 18764 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
1716adantr 468 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 1𝐵)
18 eleq2 2870 . . 3 (𝐼 = 𝐵 → ( 1𝐼1𝐵))
1917, 18syl5ibrcom 238 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼 = 𝐵1𝐼))
2015, 19impbid 203 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ( 1𝐼𝐼 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wss 3763  cfv 6095  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  .rcmulr 16148  1rcur 18697  Ringcrg 18743  LIdealclidl 19373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-0g 16301  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17787  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-sra 19375  df-rgmod 19376  df-lidl 19377
This theorem is referenced by:  rsp1  19427  drngnidl  19432  uzlidlring  42491
  Copyright terms: Public domain W3C validator