Theorem isdrngdOLD 20939

Description: Obsolete version of isdrngd 20937 as of 19-Feb-2025. (Contributed by NM, 2-Aug-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrngdOLD.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isdrngdOLD.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isdrngdOLD.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
isdrngdOLD.u	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isdrngdOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isdrngdOLD.n	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
isdrngdOLD.o	⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
isdrngdOLD.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
isdrngdOLD.j	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
isdrngdOLD.k	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
isdrngdOLD	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐼   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem isdrngdOLD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrngdOLD.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
3		isdrngdOLD.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4	2, 3	sseqtrid 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
6		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20284	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
9	5, 8	ressbas2 17336	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ (Base‘𝑅) → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
10	4, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
11		isdrngdOLD.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
12		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13	3, 12	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		difexg 5298	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	6, 15	mgpplusg 20283	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	5, 16	ressplusg 17382	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
18	13, 14, 17	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	11, 18	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
20		eldifsn 4751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
21		eldifsn 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 ))
22	7, 15	ringcl 20395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
23	1, 22	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3expib 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
25	3	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
26	3	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
28	11	oveqd 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
29	28, 3	eleq12d 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅)))
30	24, 27, 29	3imtr4d 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵))
31	30	3impib 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
32	31	3adant2r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
34		isdrngdOLD.n	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 )
35		eldifsn 4751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ≠ 0 ))
36	33, 34, 35	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
37	21, 36	syl3an3b 1432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
38	20, 37	syl3an2b 1431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
39	7, 15	ringass 20398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
40	39	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
41	1, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
42	3	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
43	25, 26, 42	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))))
44		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = 𝑧)
45	11, 28, 44	oveq123d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧))
46		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
47	11	oveqd 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧))
48	11, 46, 47	oveq123d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
49	45, 48	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
50	41, 43, 49	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
51		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
52		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
53		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑧 ∈ 𝐵)
54	51, 52, 53	3anim123i 1169	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))
55	50, 54	impel 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
56		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
57	7, 56	ringidcl 20412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
58	1, 57	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
59		isdrngdOLD.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
60	58, 59, 3	3eltr4d 2877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61		isdrngdOLD.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 0 )
62		eldifsn 4751	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ≠ 0 ))
63	60, 61, 62	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
64	7, 15, 56	ringlidm 20416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
65	64	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
66	1, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
67	11, 59, 46	oveq123d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥))
68	67	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥))
69	66, 25, 68	3imtr4d 297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑥) = 𝑥))
70	69	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
71	70	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
72	20, 71	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
73		isdrngdOLD.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ 𝐵)
74		isdrngdOLD.j	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ≠ 0 )
75		eldifsn 4751	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
76	73, 74, 75	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
77	20, 76	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		isdrngdOLD.k	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
79	20, 78	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐼 · 𝑥) = 1 )
80	10, 19, 38, 55, 63, 72, 77, 79	isgrpd 19088	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
81		isdrngdOLD.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝑅))
82	81	sneqd 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘𝑅)})
83	3, 82	difeq12d 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ { 0 }) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
84	83	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
85	84	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ↔ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
86	85	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)))
87	1, 80, 86	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
88		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
89		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
90	7, 88, 89	isdrng2 20912	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp))
91	87, 90	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  DivRingcdr 20896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898

This theorem is used by:  isdrngrdOLD  20940