Theorem efgsf 19762

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsf	⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 = 𝑡)
2		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → (♯‘𝑚) = (♯‘𝑡))
3	2	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → ((♯‘𝑚) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
4	1, 3	fveq12d 6914	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
5	4	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → ((𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
6	5	ralrab2 3707	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ ∀𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})(((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
7		eldifi 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡 ∈ Word 𝑊)
8		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ Word 𝑊 → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
10		eldifsn 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑡 ≠ ∅))
11		lennncl 14569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑡 ≠ ∅) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13794	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑡) ∈ ℕ → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
15	9, 14	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊)
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
17	6, 16	mprgbir 3066	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊
18		efgred.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
19	18	fmpt 7130	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
20	17, 19	mpbi 230	1 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639  ∪ ciun 4996   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  0cc0 11153  1c1 11154   − cmin 11490  ℕcn 12264  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~_FG cefg 19739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550

This theorem is referenced by:  efgsdm  19763  efgsval  19764  efgsp1  19770  efgsfo  19772  efgredleme  19776  efgred  19781