Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsf 18834
 Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsf 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsf
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑡𝑚 = 𝑡)
2 fveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑡 → (♯‘𝑚) = (♯‘𝑡))
32oveq1d 7145 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑡 → ((♯‘𝑚) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
41, 3fveq12d 6650 . . . . 5 (𝑚 = 𝑡 → (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
54eleq1d 2896 . . . 4 (𝑚 = 𝑡 → ((𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
65ralrab2 3667 . . 3 (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ ∀𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})(((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
7 eldifi 4079 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡 ∈ Word 𝑊)
8 wrdf 13850 . . . . . 6 (𝑡 ∈ Word 𝑊𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
10 eldifsn 4692 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑊𝑡 ≠ ∅))
11 lennncl 13865 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Word 𝑊𝑡 ≠ ∅) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
1210, 11sylbi 220 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
13 fzo0end 13112 . . . . . 6 ((♯‘𝑡) ∈ ℕ → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
159, 14ffvelrnd 6825 . . . 4 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊)
1615a1d 25 . . 3 (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
176, 16mprgbir 3141 . 2 𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊
18 efgred.s . . 3 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
1918fmpt 6847 . 2 (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
2017, 19mpbi 233 1 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  {crab 3130   ∖ cdif 3907  ∅c0 4266  {csn 4540  ⟨cop 4546  ⟨cotp 4548  ∪ ciun 4892   ↦ cmpt 5119   I cid 5432   × cxp 5526  ran crn 5529  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∈ cmpo 7132  1oc1o 8070  2oc2o 8071  0cc0 10514  1c1 10515   − cmin 10847  ℕcn 11615  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016  ♯chash 13674  Word cword 13845   splice csplice 14090  ⟨“cs2 14182   ~FG cefg 18811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846 This theorem is referenced by:  efgsdm  18835  efgsval  18836  efgsp1  18842  efgsfo  18844  efgredleme  18848  efgred  18853
 Copyright terms: Public domain W3C validator