Theorem efgsf 19670

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsf	⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → 𝑚 = 𝑡)
2		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → (♯‘𝑚) = (♯‘𝑡))
3	2	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → ((♯‘𝑚) − 1) = ((♯‘𝑡) − 1))
4	1, 3	fveq12d 6849	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) = (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑡 → ((𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
6	5	ralrab2 3658	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ ∀𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})(((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
7		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡 ∈ Word 𝑊)
8		wrdf 14453	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ Word 𝑊 → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑊)
10		eldifsn 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑡 ≠ ∅))
11		lennncl 14469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑡 ≠ ∅) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝑡) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13686	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑡) ∈ ℕ → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑡) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑡)))
15	9, 14	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊)
16	15	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) → (𝑡‘((♯‘𝑡) − 1)) ∈ 𝑊))
17	6, 16	mprgbir 3059	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊
18		efgred.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
19	18	fmpt 7064	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)) ∈ 𝑊 ↔ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
20	17, 19	mpbi 230	1 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590  ∪ ciun 4948   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   × cxp 5630  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   splice csplice 14684  ⟨“cs2 14776   ~_FG cefg 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449

This theorem is referenced by:  efgsdm  19671  efgsval  19672  efgsp1  19678  efgsfo  19680  efgredleme  19684  efgred  19689