Theorem eftabs 16154

Description: The absolute value of a term in the series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
eftabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝐾) / (!‘𝐾))) = (((abs‘𝐴)↑𝐾) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem eftabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 14135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐾) ∈ ℂ)
2		faccl 14339	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
5		facne0 14342	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ≠ 0)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (!‘𝐾) ≠ 0)
7	1, 4, 6	absdivd 15535	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝐾) / (!‘𝐾))) = ((abs‘(𝐴↑𝐾)) / (abs‘(!‘𝐾))))
8		absexp 15381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝐾)) = ((abs‘𝐴)↑𝐾))
9	3	nnred 12266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (!‘𝐾) ∈ ℝ)
10	3	nnnn0d 12583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (!‘𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝐾))
12	9, 11	absidd 15500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(!‘𝐾)) = (!‘𝐾))
13	8, 12	oveq12d 7441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐴↑𝐾)) / (abs‘(!‘𝐾))) = (((abs‘𝐴)↑𝐾) / (!‘𝐾)))
14	7, 13	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝐾) / (!‘𝐾))) = (((abs‘𝐴)↑𝐾) / (!‘𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ↑cexp 14117  !cfa 14329  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  efcllem  16156  eftlub  16190