Theorem absdivd 15485

Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absdivd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
absdivd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absdivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		absdiv 15322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   / cdiv 11844  abscabs 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263

This theorem is referenced by:  reccn2  15624  rlimno1  15681  o1fsum  15841  divrcnv  15882  georeclim  15902  eftabs  16105  efcllem  16107  efaddlem  16123  mul4sqlem  16989  gzrngunit  21482  pjthlem1  25496  iblabsr  25889  iblmulc2  25890  c1liplem1  26055  ftc1lem4  26098  ulmdvlem1  26460  dvradcnv  26481  eff1olem  26610  logcnlem4  26707  lawcoslem1  26877  isosctrlem3  26882  cxploglim2  27040  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem5  27094  lgamcvg2  27116  logfacrlim  27285  2sqlem3  27481  dchrmusum2  27555  dchrvmasumlem3  27560  dchrisum0lem1  27577  dchrisum0lem2a  27578  mudivsum  27591  mulogsumlem  27592  2vmadivsumlem  27601  selberg3lem1  27618  selberg3lem2  27619  selberg4lem1  27621  pntrlog2bndlem1  27638  pntrlog2bndlem3  27640  pntrlog2bndlem5  27642  pntrlog2bndlem6  27644  pntpbnd1a  27646  pntpbnd2  27648  pntibndlem2  27652  pntlemo  27668  pjhthlem1  31591  constrdircl  34059  constrinvcl  34067  qqhnm  34284  unbdqndv2lem1  36944  unbdqndv2lem2  36945  knoppndvlem10  36956  knoppndvlem14  36960  iblmulc2nc  38181  ftc1cnnclem  38187  pellexlem2  43404  pellexlem6  43408  modabsdifz  43560  cvgdvgrat  44886  binomcxplemnotnn0  44929  0ellimcdiv  46220  dvdivbd  46494  fourierdlem30  46708  fourierdlem39  46717  etransclem23  46828