Theorem absdivd 15440

Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absdivd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
absdivd	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absdivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absdivd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		absdiv 15280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝐵)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  0cc0 11144   / cdiv 11907  abscabs 15219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221

This theorem is referenced by:  reccn2  15579  rlimno1  15638  o1fsum  15797  divrcnv  15836  georeclim  15856  eftabs  16057  efcllem  16059  efaddlem  16075  mul4sqlem  16927  gzrngunit  21371  pjthlem1  25383  iblabsr  25777  iblmulc2  25778  c1liplem1  25947  ftc1lem4  25992  ulmdvlem1  26354  dvradcnv  26375  eff1olem  26500  logcnlem4  26597  lawcoslem1  26765  isosctrlem3  26770  cxploglim2  26929  fsumharmonic  26962  lgamgulmlem2  26980  lgamgulmlem5  26983  lgamcvg2  27005  logfacrlim  27175  2sqlem3  27371  dchrmusum2  27445  dchrvmasumlem3  27450  dchrisum0lem1  27467  dchrisum0lem2a  27468  mudivsum  27481  mulogsumlem  27482  2vmadivsumlem  27491  selberg3lem1  27508  selberg3lem2  27509  selberg4lem1  27511  pntrlog2bndlem1  27528  pntrlog2bndlem3  27530  pntrlog2bndlem5  27532  pntrlog2bndlem6  27534  pntpbnd1a  27536  pntpbnd2  27538  pntibndlem2  27542  pntlemo  27558  pjhthlem1  31219  qqhnm  33596  unbdqndv2lem1  35989  unbdqndv2lem2  35990  knoppndvlem10  36001  knoppndvlem14  36005  iblmulc2nc  37163  ftc1cnnclem  37169  pellexlem2  42253  pellexlem6  42257  modabsdifz  42410  cvgdvgrat  43753  binomcxplemnotnn0  43796  0ellimcdiv  45039  dvdivbd  45313  fourierdlem30  45527  fourierdlem39  45536  etransclem23  45647