Theorem absidd 15330

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  0cc0 11009   ≤ cle 11150  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  nn0absid  15337  rlimno1  15561  iseralt  15592  cvgcmpce  15725  divrcnv  15759  geomulcvg  15783  cvgrat  15790  mertenslem2  15792  eftabs  15982  efcllem  15984  efaddlem  16000  eftlub  16018  eflegeo  16030  ef01bndlem  16093  absef  16106  efieq1re  16108  dvdseq  16225  divalg2  16316  nn0gcdid0  16432  absmulgcd  16460  nn0rppwr  16472  nn0expgcd  16475  lcmgcdlem  16517  mulgcddvds  16566  phibndlem  16681  dfphi2  16685  mul4sqlem  16865  4sqlem11  16867  prmirredlem  21379  prmirred  21381  blcvx  24684  reperflem  24705  reconnlem2  24714  nmoleub2lem3  25013  nmoleub3  25017  tcphcphlem1  25133  iscmet3lem3  25188  pjthlem1  25335  lhop1lem  25916  ftc1lem4  25944  plyeq0lem  26113  aalioulem4  26241  mtest  26311  radcnvlem1  26320  radcnvlt1  26325  radcnvle  26327  dvradcnv  26328  pserdvlem2  26336  abelth2  26350  tanabsge  26413  sineq0  26431  divlogrlim  26542  logcnlem3  26551  logcnlem4  26552  logtayllem  26566  logtayl  26567  abscxp2  26600  logbgcd1irr  26702  chordthmlem4  26743  rlimcnp  26873  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem5  26941  lgamcvg2  26963  ftalem5  26985  lgsval2lem  27216  lgsval4a  27228  2sqlem3  27329  chebbnd1  27381  chtppilimlem2  27383  chto1ub  27385  vmadivsum  27391  vmadivsumb  27392  rpvmasumlem  27396  dchrisumlem2  27399  dchrisumlem3  27400  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumiflem1  27410  dchrisum0fno1  27420  dchrisum0re  27422  rplogsum  27436  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  2vmadivsumlem  27449  selbergb  27458  selberg2lem  27459  selberg2b  27461  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg4lem1  27469  pntrsumo1  27474  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd1  27495  pntibndlem2  27500  ostth2  27546  htthlem  30861  bcsiALT  31123  norm1  31193  pjhthlem1  31335  nmbdoplbi  31968  nmcexi  31970  nmcopexi  31971  nmcoplbi  31972  nmbdfnlbi  31993  nmcfnexi  31995  nmcfnlbi  31996  cnlnadjlem7  32017  nmopcoi  32039  nmopcoadji  32045  branmfn  32049  strlem1  32194  sgnval2  32678  constrdircl  33732  iconstr  33733  constrinvcl  33740  constrresqrtcl  33744  constrabscl  33745  constrsqrtcl  33746  cos9thpinconstrlem1  33756  subfaclim  35165  dnizphlfeqhlf  36454  dnibndlem6  36461  dnibndlem9  36464  knoppndvlem11  36500  knoppndvlem14  36503  poimirlem29  37633  ftc1cnnclem  37675  ftc1anclem5  37681  lmclim2  37742  geomcau  37743  cntotbnd  37780  gcdnn0id  42306  readvrec  42339  irrapxlem2  42800  irrapxlem5  42803  pellexlem2  42807  oddcomabszz  42921  jm2.19  42970  jm2.26lem3  42978  absmulrposd  44136  nzprmdif  44296  0ellimcdiv  45634  stoweidlem7  45992  fourierdlem30  46122  fourierdlem39  46131  etransclem23  46242  etransclem41  46260  hoiqssbllem2  46608  modlt0b  47351  blenre  48563  blennn  48564