Theorem absidd 15267

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  ‘cfv 6494  ℝcr 11009  0cc0 11010   ≤ cle 11149  abscabs 15079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-sup 9337  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-seq 13862  df-exp 13923  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081

This theorem is referenced by:  rlimno1  15498  iseralt  15529  cvgcmpce  15663  divrcnv  15697  geomulcvg  15721  cvgrat  15728  mertenslem2  15730  eftabs  15918  efcllem  15920  efaddlem  15935  eftlub  15951  eflegeo  15963  ef01bndlem  16026  absef  16039  efieq1re  16041  dvdseq  16156  divalg2  16247  nn0gcdid0  16361  absmulgcd  16390  lcmgcdlem  16442  mulgcddvds  16491  phibndlem  16602  dfphi2  16606  mul4sqlem  16785  4sqlem11  16787  prmirredlem  20846  prmirred  20848  blcvx  24113  reperflem  24133  reconnlem2  24142  nmoleub2lem3  24430  nmoleub3  24434  tcphcphlem1  24551  iscmet3lem3  24606  pjthlem1  24753  lhop1lem  25329  ftc1lem4  25355  plyeq0lem  25523  aalioulem4  25647  mtest  25715  radcnvlem1  25724  radcnvlt1  25729  radcnvle  25731  dvradcnv  25732  pserdvlem2  25739  abelth2  25753  tanabsge  25815  sineq0  25832  divlogrlim  25942  logcnlem3  25951  logcnlem4  25952  logtayllem  25966  logtayl  25967  abscxp2  26000  logbgcd1irr  26096  chordthmlem4  26137  rlimcnp  26267  lgamgulmlem2  26331  lgamgulmlem5  26334  lgamcvg2  26356  ftalem5  26378  lgsval2lem  26607  lgsval4a  26619  2sqlem3  26720  chebbnd1  26772  chtppilimlem2  26774  chto1ub  26776  vmadivsum  26782  vmadivsumb  26783  rpvmasumlem  26787  dchrisumlem2  26790  dchrisumlem3  26791  dchrvmasumlem2  26798  dchrvmasumiflem1  26801  dchrisum0fno1  26811  dchrisum0re  26813  rplogsum  26827  mulog2sumlem1  26834  mulog2sumlem2  26835  2vmadivsumlem  26840  selbergb  26849  selberg2lem  26850  selberg2b  26852  selberg3lem1  26857  selberg3lem2  26858  selberg4lem1  26860  pntrsumo1  26865  pntrlog2bndlem1  26877  pntrlog2bndlem2  26878  pntrlog2bndlem3  26879  pntrlog2bndlem5  26881  pntrlog2bndlem6  26883  pntrlog2bnd  26884  pntpbnd1a  26885  pntpbnd1  26886  pntibndlem2  26891  ostth2  26937  htthlem  29688  bcsiALT  29950  norm1  30020  pjhthlem1  30162  nmbdoplbi  30795  nmcexi  30797  nmcopexi  30798  nmcoplbi  30799  nmbdfnlbi  30820  nmcfnexi  30822  nmcfnlbi  30823  cnlnadjlem7  30844  nmopcoi  30866  nmopcoadji  30872  branmfn  30876  strlem1  31021  subfaclim  33586  dnizphlfeqhlf  34871  dnibndlem6  34878  dnibndlem9  34881  knoppndvlem11  34917  knoppndvlem14  34920  poimirlem29  36039  ftc1cnnclem  36081  ftc1anclem5  36087  lmclim2  36149  geomcau  36150  cntotbnd  36187  gcdnn0id  40718  nn0rppwr  40722  nn0expgcd  40724  irrapxlem2  41049  irrapxlem5  41052  pellexlem2  41056  oddcomabszz  41171  jm2.19  41220  jm2.26lem3  41228  absmulrposd  42336  nzprmdif  42504  0ellimcdiv  43785  stoweidlem7  44143  fourierdlem30  44273  fourierdlem39  44282  etransclem23  44393  etransclem41  44411  hoiqssbllem2  44759  blenre  46555  blennn  46556