Theorem absidd 15369

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  ℝcr 11109  0cc0 11110   ≤ cle 11249  abscabs 15181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183

This theorem is referenced by:  rlimno1  15600  iseralt  15631  cvgcmpce  15764  divrcnv  15798  geomulcvg  15822  cvgrat  15829  mertenslem2  15831  eftabs  16019  efcllem  16021  efaddlem  16036  eftlub  16052  eflegeo  16064  ef01bndlem  16127  absef  16140  efieq1re  16142  dvdseq  16257  divalg2  16348  nn0gcdid0  16462  absmulgcd  16491  lcmgcdlem  16543  mulgcddvds  16592  phibndlem  16703  dfphi2  16707  mul4sqlem  16886  4sqlem11  16888  prmirredlem  21042  prmirred  21044  blcvx  24314  reperflem  24334  reconnlem2  24343  nmoleub2lem3  24631  nmoleub3  24635  tcphcphlem1  24752  iscmet3lem3  24807  pjthlem1  24954  lhop1lem  25530  ftc1lem4  25556  plyeq0lem  25724  aalioulem4  25848  mtest  25916  radcnvlem1  25925  radcnvlt1  25930  radcnvle  25932  dvradcnv  25933  pserdvlem2  25940  abelth2  25954  tanabsge  26016  sineq0  26033  divlogrlim  26143  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  logtayllem  26167  logtayl  26168  abscxp2  26201  logbgcd1irr  26299  chordthmlem4  26340  rlimcnp  26470  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem5  26537  lgamcvg2  26559  ftalem5  26581  lgsval2lem  26810  lgsval4a  26822  2sqlem3  26923  chebbnd1  26975  chtppilimlem2  26977  chto1ub  26979  vmadivsum  26985  vmadivsumb  26986  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0fno1  27014  dchrisum0re  27016  rplogsum  27030  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  2vmadivsumlem  27043  selbergb  27052  selberg2lem  27053  selberg2b  27055  selberg3lem1  27060  selberg3lem2  27061  selberg4lem1  27063  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntibndlem2  27094  ostth2  27140  htthlem  30170  bcsiALT  30432  norm1  30502  pjhthlem1  30644  nmbdoplbi  31277  nmcexi  31279  nmcopexi  31280  nmcoplbi  31281  nmbdfnlbi  31302  nmcfnexi  31304  nmcfnlbi  31305  cnlnadjlem7  31326  nmopcoi  31348  nmopcoadji  31354  branmfn  31358  strlem1  31503  subfaclim  34179  dnizphlfeqhlf  35352  dnibndlem6  35359  dnibndlem9  35362  knoppndvlem11  35398  knoppndvlem14  35401  poimirlem29  36517  ftc1cnnclem  36559  ftc1anclem5  36565  lmclim2  36626  geomcau  36627  cntotbnd  36664  gcdnn0id  41220  nn0rppwr  41224  nn0expgcd  41226  irrapxlem2  41561  irrapxlem5  41564  pellexlem2  41568  oddcomabszz  41683  jm2.19  41732  jm2.26lem3  41740  absmulrposd  42910  nzprmdif  43078  0ellimcdiv  44365  stoweidlem7  44723  fourierdlem30  44853  fourierdlem39  44862  etransclem23  44973  etransclem41  44991  hoiqssbllem2  45339  blenre  47260  blennn  47261