Theorem absidd 15344

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  ℝcr 11023  0cc0 11024   ≤ cle 11165  abscabs 15155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157

This theorem is referenced by:  nn0absid  15351  rlimno1  15575  iseralt  15606  cvgcmpce  15739  divrcnv  15773  geomulcvg  15797  cvgrat  15804  mertenslem2  15806  eftabs  15996  efcllem  15998  efaddlem  16014  eftlub  16032  eflegeo  16044  ef01bndlem  16107  absef  16120  efieq1re  16122  dvdseq  16239  divalg2  16330  nn0gcdid0  16446  absmulgcd  16474  nn0rppwr  16486  nn0expgcd  16489  lcmgcdlem  16531  mulgcddvds  16580  phibndlem  16695  dfphi2  16699  mul4sqlem  16879  4sqlem11  16881  prmirredlem  21425  prmirred  21427  blcvx  24740  reperflem  24761  reconnlem2  24770  nmoleub2lem3  25069  nmoleub3  25073  tcphcphlem1  25189  iscmet3lem3  25244  pjthlem1  25391  lhop1lem  25972  ftc1lem4  26000  plyeq0lem  26169  aalioulem4  26297  mtest  26367  radcnvlem1  26376  radcnvlt1  26381  radcnvle  26383  dvradcnv  26384  pserdvlem2  26392  abelth2  26406  tanabsge  26469  sineq0  26487  divlogrlim  26598  logcnlem3  26607  logcnlem4  26608  logtayllem  26622  logtayl  26623  abscxp2  26656  logbgcd1irr  26758  chordthmlem4  26799  rlimcnp  26929  lgamgulmlem2  26994  lgamgulmlem5  26997  lgamcvg2  27019  ftalem5  27041  lgsval2lem  27272  lgsval4a  27284  2sqlem3  27385  chebbnd1  27437  chtppilimlem2  27439  chto1ub  27441  vmadivsum  27447  vmadivsumb  27448  rpvmasumlem  27452  dchrisumlem2  27455  dchrisumlem3  27456  dchrvmasumlem2  27463  dchrvmasumiflem1  27466  dchrisum0fno1  27476  dchrisum0re  27478  rplogsum  27492  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  2vmadivsumlem  27505  selbergb  27514  selberg2lem  27515  selberg2b  27517  selberg3lem1  27522  selberg3lem2  27523  selberg4lem1  27525  pntrsumo1  27530  pntrlog2bndlem1  27542  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem3  27544  pntrlog2bndlem5  27546  pntrlog2bndlem6  27548  pntrlog2bnd  27549  pntpbnd1a  27550  pntpbnd1  27551  pntibndlem2  27556  ostth2  27602  htthlem  30941  bcsiALT  31203  norm1  31273  pjhthlem1  31415  nmbdoplbi  32048  nmcexi  32050  nmcopexi  32051  nmcoplbi  32052  nmbdfnlbi  32073  nmcfnexi  32075  nmcfnlbi  32076  cnlnadjlem7  32097  nmopcoi  32119  nmopcoadji  32125  branmfn  32129  strlem1  32274  sgnval2  32763  constrdircl  33871  iconstr  33872  constrinvcl  33879  constrresqrtcl  33883  constrabscl  33884  constrsqrtcl  33885  cos9thpinconstrlem1  33895  subfaclim  35331  dnizphlfeqhlf  36619  dnibndlem6  36626  dnibndlem9  36629  knoppndvlem11  36665  knoppndvlem14  36668  poimirlem29  37789  ftc1cnnclem  37831  ftc1anclem5  37837  lmclim2  37898  geomcau  37899  cntotbnd  37936  gcdnn0id  42526  readvrec  42559  irrapxlem2  43007  irrapxlem5  43010  pellexlem2  43014  oddcomabszz  43128  jm2.19  43177  jm2.26lem3  43185  absmulrposd  44342  nzprmdif  44502  0ellimcdiv  45835  stoweidlem7  46193  fourierdlem30  46323  fourierdlem39  46332  etransclem23  46443  etransclem41  46461  hoiqssbllem2  46809  modlt0b  47551  blenre  48762  blennn  48763