Theorem absidd 15474

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15347	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100   ≤ cle 11244  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  nn0absid  15481  rlimno1  15705  iseralt  15736  cvgcmpce  15870  divrcnv  15906  geomulcvg  15930  cvgrat  15937  mertenslem2  15939  eftabs  16129  efcllem  16131  efaddlem  16147  eftlub  16165  eflegeo  16177  ef01bndlem  16240  absef  16253  efieq1re  16255  dvdseq  16372  divalg2  16463  nn0gcdid0  16579  absmulgcd  16607  nn0rppwr  16619  nn0expgcd  16622  lcmgcdlem  16664  mulgcddvds  16713  phibndlem  16829  dfphi2  16833  mul4sqlem  17013  4sqlem11  17015  prmirredlem  21591  prmirred  21593  blcvx  24924  reperflem  24945  reconnlem2  24954  nmoleub2lem3  25243  nmoleub3  25247  tcphcphlem1  25363  iscmet3lem3  25418  pjthlem1  25565  lhop1lem  26141  ftc1lem4  26167  plyeq0lem  26336  aalioulem4  26465  mtest  26533  radcnvlem1  26542  radcnvlt1  26547  radcnvle  26549  dvradcnv  26550  pserdvlem2  26557  abelth2  26571  tanabsge  26637  sineq0  26655  divlogrlim  26766  logcnlem3  26775  logcnlem4  26776  logtayllem  26790  logtayl  26791  abscxp2  26824  logbgcd1irr  26925  chordthmlem4  26966  rlimcnp  27096  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem5  27163  lgamcvg2  27185  ftalem5  27207  lgsval2lem  27437  lgsval4a  27449  2sqlem3  27550  chebbnd1  27602  chtppilimlem2  27604  chto1ub  27606  vmadivsum  27612  vmadivsumb  27613  rpvmasumlem  27617  dchrisumlem2  27620  dchrisumlem3  27621  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumiflem1  27631  dchrisum0fno1  27641  dchrisum0re  27643  rplogsum  27657  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  2vmadivsumlem  27670  selbergb  27679  selberg2lem  27680  selberg2b  27682  selberg3lem1  27687  selberg3lem2  27688  selberg4lem1  27690  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd1a  27715  pntpbnd1  27716  pntibndlem2  27721  ostth2  27767  htthlem  31210  bcsiALT  31472  norm1  31542  pjhthlem1  31684  nmbdoplbi  32317  nmcexi  32319  nmcopexi  32320  nmcoplbi  32321  nmbdfnlbi  32342  nmcfnexi  32344  nmcfnlbi  32345  cnlnadjlem7  32366  nmopcoi  32388  nmopcoadji  32394  branmfn  32398  strlem1  32543  sgnval2  33021  constrdircl  34100  iconstr  34101  constrinvcl  34108  constrresqrtcl  34112  constrabscl  34113  constrsqrtcl  34114  cos9thpinconstrlem1  34124  subfaclim  35579  dnizphlfeqhlf  36954  dnibndlem6  36961  dnibndlem9  36964  knoppndvlem11  37000  knoppndvlem14  37003  poimirlem29  38188  ftc1cnnclem  38230  ftc1anclem5  38236  lmclim2  38297  geomcau  38298  cntotbnd  38335  gcdnn0id  42980  readvrec  43013  irrapxlem2  43442  irrapxlem5  43445  pellexlem2  43449  oddcomabszz  43563  jm2.19  43612  jm2.26lem3  43620  absmulrposd  44777  nzprmdif  44921  0ellimcdiv  46255  stoweidlem7  46613  fourierdlem30  46743  fourierdlem39  46752  etransclem23  46863  etransclem41  46881  hoiqssbllem2  47229  modlt0b  47995  blenre  49239  blennn  49240