Theorem absidd 15358

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  nn0absid  15365  rlimno1  15589  iseralt  15620  cvgcmpce  15753  divrcnv  15787  geomulcvg  15811  cvgrat  15818  mertenslem2  15820  eftabs  16010  efcllem  16012  efaddlem  16028  eftlub  16046  eflegeo  16058  ef01bndlem  16121  absef  16134  efieq1re  16136  dvdseq  16253  divalg2  16344  nn0gcdid0  16460  absmulgcd  16488  nn0rppwr  16500  nn0expgcd  16503  lcmgcdlem  16545  mulgcddvds  16594  phibndlem  16709  dfphi2  16713  mul4sqlem  16893  4sqlem11  16895  prmirredlem  21439  prmirred  21441  blcvx  24754  reperflem  24775  reconnlem2  24784  nmoleub2lem3  25083  nmoleub3  25087  tcphcphlem1  25203  iscmet3lem3  25258  pjthlem1  25405  lhop1lem  25986  ftc1lem4  26014  plyeq0lem  26183  aalioulem4  26311  mtest  26381  radcnvlem1  26390  radcnvlt1  26395  radcnvle  26397  dvradcnv  26398  pserdvlem2  26406  abelth2  26420  tanabsge  26483  sineq0  26501  divlogrlim  26612  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  logtayllem  26636  logtayl  26637  abscxp2  26670  logbgcd1irr  26772  chordthmlem4  26813  rlimcnp  26943  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem5  27011  lgamcvg2  27033  ftalem5  27055  lgsval2lem  27286  lgsval4a  27298  2sqlem3  27399  chebbnd1  27451  chtppilimlem2  27453  chto1ub  27455  vmadivsum  27461  vmadivsumb  27462  rpvmasumlem  27466  dchrisumlem2  27469  dchrisumlem3  27470  dchrvmasumlem2  27477  dchrvmasumiflem1  27480  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0re  27492  rplogsum  27506  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem2  27514  2vmadivsumlem  27519  selbergb  27528  selberg2lem  27529  selberg2b  27531  selberg3lem1  27536  selberg3lem2  27537  selberg4lem1  27539  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntpbnd1a  27564  pntpbnd1  27565  pntibndlem2  27570  ostth2  27616  htthlem  31005  bcsiALT  31267  norm1  31337  pjhthlem1  31479  nmbdoplbi  32112  nmcexi  32114  nmcopexi  32115  nmcoplbi  32116  nmbdfnlbi  32137  nmcfnexi  32139  nmcfnlbi  32140  cnlnadjlem7  32161  nmopcoi  32183  nmopcoadji  32189  branmfn  32193  strlem1  32338  sgnval2  32825  constrdircl  33943  iconstr  33944  constrinvcl  33951  constrresqrtcl  33955  constrabscl  33956  constrsqrtcl  33957  cos9thpinconstrlem1  33967  subfaclim  35404  dnizphlfeqhlf  36698  dnibndlem6  36705  dnibndlem9  36708  knoppndvlem11  36744  knoppndvlem14  36747  poimirlem29  37900  ftc1cnnclem  37942  ftc1anclem5  37948  lmclim2  38009  geomcau  38010  cntotbnd  38047  gcdnn0id  42699  readvrec  42732  irrapxlem2  43180  irrapxlem5  43183  pellexlem2  43187  oddcomabszz  43301  jm2.19  43350  jm2.26lem3  43358  absmulrposd  44515  nzprmdif  44675  0ellimcdiv  46007  stoweidlem7  46365  fourierdlem30  46495  fourierdlem39  46504  etransclem23  46615  etransclem41  46633  hoiqssbllem2  46981  modlt0b  47723  blenre  48934  blennn  48935