Theorem absidd 15330

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  0cc0 11006   ≤ cle 11147  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  nn0absid  15337  rlimno1  15561  iseralt  15592  cvgcmpce  15725  divrcnv  15759  geomulcvg  15783  cvgrat  15790  mertenslem2  15792  eftabs  15982  efcllem  15984  efaddlem  16000  eftlub  16018  eflegeo  16030  ef01bndlem  16093  absef  16106  efieq1re  16108  dvdseq  16225  divalg2  16316  nn0gcdid0  16432  absmulgcd  16460  nn0rppwr  16472  nn0expgcd  16475  lcmgcdlem  16517  mulgcddvds  16566  phibndlem  16681  dfphi2  16685  mul4sqlem  16865  4sqlem11  16867  prmirredlem  21409  prmirred  21411  blcvx  24713  reperflem  24734  reconnlem2  24743  nmoleub2lem3  25042  nmoleub3  25046  tcphcphlem1  25162  iscmet3lem3  25217  pjthlem1  25364  lhop1lem  25945  ftc1lem4  25973  plyeq0lem  26142  aalioulem4  26270  mtest  26340  radcnvlem1  26349  radcnvlt1  26354  radcnvle  26356  dvradcnv  26357  pserdvlem2  26365  abelth2  26379  tanabsge  26442  sineq0  26460  divlogrlim  26571  logcnlem3  26580  logcnlem4  26581  logtayllem  26595  logtayl  26596  abscxp2  26629  logbgcd1irr  26731  chordthmlem4  26772  rlimcnp  26902  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem5  26970  lgamcvg2  26992  ftalem5  27014  lgsval2lem  27245  lgsval4a  27257  2sqlem3  27358  chebbnd1  27410  chtppilimlem2  27412  chto1ub  27414  vmadivsum  27420  vmadivsumb  27421  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem2  27428  dchrisumlem3  27429  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0fno1  27449  dchrisum0re  27451  rplogsum  27465  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  2vmadivsumlem  27478  selbergb  27487  selberg2lem  27488  selberg2b  27490  selberg3lem1  27495  selberg3lem2  27496  selberg4lem1  27498  pntrsumo1  27503  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1a  27523  pntpbnd1  27524  pntibndlem2  27529  ostth2  27575  htthlem  30897  bcsiALT  31159  norm1  31229  pjhthlem1  31371  nmbdoplbi  32004  nmcexi  32006  nmcopexi  32007  nmcoplbi  32008  nmbdfnlbi  32029  nmcfnexi  32031  nmcfnlbi  32032  cnlnadjlem7  32053  nmopcoi  32075  nmopcoadji  32081  branmfn  32085  strlem1  32230  sgnval2  32718  constrdircl  33778  iconstr  33779  constrinvcl  33786  constrresqrtcl  33790  constrabscl  33791  constrsqrtcl  33792  cos9thpinconstrlem1  33802  subfaclim  35232  dnizphlfeqhlf  36520  dnibndlem6  36527  dnibndlem9  36530  knoppndvlem11  36566  knoppndvlem14  36569  poimirlem29  37699  ftc1cnnclem  37741  ftc1anclem5  37747  lmclim2  37808  geomcau  37809  cntotbnd  37846  gcdnn0id  42432  readvrec  42465  irrapxlem2  42926  irrapxlem5  42929  pellexlem2  42933  oddcomabszz  43047  jm2.19  43096  jm2.26lem3  43104  absmulrposd  44262  nzprmdif  44422  0ellimcdiv  45757  stoweidlem7  46115  fourierdlem30  46245  fourierdlem39  46254  etransclem23  46365  etransclem41  46383  hoiqssbllem2  46731  modlt0b  47473  blenre  48685  blennn  48686