Theorem absidd 15368

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ℝcr 11108  0cc0 11109   ≤ cle 11248  abscabs 15180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182

This theorem is referenced by:  rlimno1  15599  iseralt  15630  cvgcmpce  15763  divrcnv  15797  geomulcvg  15821  cvgrat  15828  mertenslem2  15830  eftabs  16018  efcllem  16020  efaddlem  16035  eftlub  16051  eflegeo  16063  ef01bndlem  16126  absef  16139  efieq1re  16141  dvdseq  16256  divalg2  16347  nn0gcdid0  16461  absmulgcd  16490  lcmgcdlem  16542  mulgcddvds  16591  phibndlem  16702  dfphi2  16706  mul4sqlem  16885  4sqlem11  16887  prmirredlem  21041  prmirred  21043  blcvx  24313  reperflem  24333  reconnlem2  24342  nmoleub2lem3  24630  nmoleub3  24634  tcphcphlem1  24751  iscmet3lem3  24806  pjthlem1  24953  lhop1lem  25529  ftc1lem4  25555  plyeq0lem  25723  aalioulem4  25847  mtest  25915  radcnvlem1  25924  radcnvlt1  25929  radcnvle  25931  dvradcnv  25932  pserdvlem2  25939  abelth2  25953  tanabsge  26015  sineq0  26032  divlogrlim  26142  logcnlem3  26151  logcnlem4  26152  logtayllem  26166  logtayl  26167  abscxp2  26200  logbgcd1irr  26296  chordthmlem4  26337  rlimcnp  26467  lgamgulmlem2  26531  lgamgulmlem5  26534  lgamcvg2  26556  ftalem5  26578  lgsval2lem  26807  lgsval4a  26819  2sqlem3  26920  chebbnd1  26972  chtppilimlem2  26974  chto1ub  26976  vmadivsum  26982  vmadivsumb  26983  rpvmasumlem  26987  dchrisumlem2  26990  dchrisumlem3  26991  dchrvmasumlem2  26998  dchrvmasumiflem1  27001  dchrisum0fno1  27011  dchrisum0re  27013  rplogsum  27027  mulog2sumlem1  27034  mulog2sumlem2  27035  2vmadivsumlem  27040  selbergb  27049  selberg2lem  27050  selberg2b  27052  selberg3lem1  27057  selberg3lem2  27058  selberg4lem1  27060  pntrsumo1  27065  pntrlog2bndlem1  27077  pntrlog2bndlem2  27078  pntrlog2bndlem3  27079  pntrlog2bndlem5  27081  pntrlog2bndlem6  27083  pntrlog2bnd  27084  pntpbnd1a  27085  pntpbnd1  27086  pntibndlem2  27091  ostth2  27137  htthlem  30165  bcsiALT  30427  norm1  30497  pjhthlem1  30639  nmbdoplbi  31272  nmcexi  31274  nmcopexi  31275  nmcoplbi  31276  nmbdfnlbi  31297  nmcfnexi  31299  nmcfnlbi  31300  cnlnadjlem7  31321  nmopcoi  31343  nmopcoadji  31349  branmfn  31353  strlem1  31498  subfaclim  34174  dnizphlfeqhlf  35347  dnibndlem6  35354  dnibndlem9  35357  knoppndvlem11  35393  knoppndvlem14  35396  poimirlem29  36512  ftc1cnnclem  36554  ftc1anclem5  36560  lmclim2  36621  geomcau  36622  cntotbnd  36659  gcdnn0id  41220  nn0rppwr  41224  nn0expgcd  41226  irrapxlem2  41551  irrapxlem5  41554  pellexlem2  41558  oddcomabszz  41673  jm2.19  41722  jm2.26lem3  41730  absmulrposd  42900  nzprmdif  43068  0ellimcdiv  44355  stoweidlem7  44713  fourierdlem30  44843  fourierdlem39  44852  etransclem23  44963  etransclem41  44981  hoiqssbllem2  45329  blenre  47250  blennn  47251