Theorem absidd 15511

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11124  0cc0 11125   ≤ cle 11269  abscabs 15322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324

This theorem is used by:  nn0absid  15518  rlimno1  15742  iseralt  15773  cvgcmpce  15906  divrcnv  15942  geomulcvg  15966  cvgrat  15973  mertenslem2  15975  eftabs  16162  efcllem  16164  efaddlem  16180  eftlub  16198  eflegeo  16210  ef01bndlem  16273  absef  16286  efieq1re  16288  dvdseq  16405  divalg2  16496  nn0gcdid0  16612  absmulgcd  16640  nn0rppwr  16652  nn0expgcd  16655  lcmgcdlem  16697  mulgcddvds  16746  phibndlem  16862  dfphi2  16866  mul4sqlem  17046  4sqlem11  17048  prmirredlem  21686  prmirred  21688  blcvx  25025  reperflem  25046  reconnlem2  25055  nmoleub2lem3  25344  nmoleub3  25348  tcphcphlem1  25464  iscmet3lem3  25519  pjthlem1  25666  lhop1lem  26241  ftc1lem4  26267  plyeq0lem  26437  aalioulem4  26572  mtest  26641  radcnvlem1  26650  radcnvlt1  26655  radcnvle  26657  dvradcnv  26658  pserdvlem2  26665  abelth2  26679  tanabsge  26745  sineq0  26762  divlogrlim  26873  logcnlem3  26882  logcnlem4  26883  logtayllem  26897  logtayl  26898  abscxp2  26931  logbgcd1irr  27032  chordthmlem4  27073  rlimcnp  27203  lgamgulmlem2  27267  lgamgulmlem5  27270  lgamcvg2  27292  ftalem5  27314  lgsval2lem  27544  lgsval4a  27556  2sqlem3  27657  chebbnd1  27709  chtppilimlem2  27711  chto1ub  27713  vmadivsum  27719  vmadivsumb  27720  rpvmasumlem  27724  dchrisumlem2  27727  dchrisumlem3  27728  dchrvmasumlem2  27735  dchrvmasumiflem1  27738  dchrisum0fno1  27748  dchrisum0re  27750  rplogsum  27764  mulog2sumlem1  27771  mulog2sumlem2  27772  2vmadivsumlem  27777  selbergb  27786  selberg2lem  27787  selberg2b  27789  selberg3lem1  27794  selberg3lem2  27795  selberg4lem1  27797  pntrsumo1  27802  pntrlog2bndlem1  27814  pntrlog2bndlem2  27815  pntrlog2bndlem3  27816  pntrlog2bndlem5  27818  pntrlog2bndlem6  27820  pntrlog2bnd  27821  pntpbnd1a  27822  pntpbnd1  27823  pntibndlem2  27828  ostth2  27874  htthlem  31399  bcsiALT  31661  norm1  31731  pjhthlem1  31873  nmbdoplbi  32506  nmcexi  32508  nmcopexi  32509  nmcoplbi  32510  nmbdfnlbi  32531  nmcfnexi  32533  nmcfnlbi  32534  cnlnadjlem7  32555  nmopcoi  32577  nmopcoadji  32583  branmfn  32587  strlem1  32732  sgnval2  33207  constrdircl  34276  iconstr  34277  constrinvcl  34284  constrresqrtcl  34288  constrabscl  34289  constrsqrtcl  34290  cos9thpinconstrlem1  34300  subfaclim  35768  dnizphlfeqhlf  37174  dnibndlem6  37181  dnibndlem9  37184  knoppndvlem11  37220  knoppndvlem14  37223  poimirlem29  38399  ftc1cnnclem  38441  ftc1anclem5  38447  lmclim2  38509  geomcau  38510  cntotbnd  38547  gcdnn0id  43205  readvrec  43238  irrapxlem2  43665  irrapxlem5  43668  pellexlem2  43672  oddcomabszz  43786  jm2.19  43835  jm2.26lem3  43843  absmulrposd  45000  nzprmdif  45144  0ellimcdiv  46478  stoweidlem7  46836  fourierdlem30  46966  fourierdlem39  46975  etransclem23  47086  etransclem41  47104  hoiqssbllem2  47452  modlt0b  48258  blenre  49505  blennn  49506