Theorem absidd 15500

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  ℝcr 11116  0cc0 11117   ≤ cle 11261  abscabs 15311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by:  nn0absid  15507  rlimno1  15731  iseralt  15762  cvgcmpce  15895  divrcnv  15931  geomulcvg  15955  cvgrat  15962  mertenslem2  15964  eftabs  16153  efcllem  16155  efaddlem  16171  eftlub  16189  eflegeo  16201  ef01bndlem  16264  absef  16277  efieq1re  16279  dvdseq  16396  divalg2  16487  nn0gcdid0  16603  absmulgcd  16631  nn0rppwr  16643  nn0expgcd  16646  lcmgcdlem  16688  mulgcddvds  16737  phibndlem  16853  dfphi2  16857  mul4sqlem  17037  4sqlem11  17039  prmirredlem  21674  prmirred  21676  blcvx  25008  reperflem  25029  reconnlem2  25038  nmoleub2lem3  25327  nmoleub3  25331  tcphcphlem1  25447  iscmet3lem3  25502  pjthlem1  25649  lhop1lem  26225  ftc1lem4  26251  plyeq0lem  26420  aalioulem4  26551  mtest  26620  radcnvlem1  26629  radcnvlt1  26634  radcnvle  26636  dvradcnv  26637  pserdvlem2  26644  abelth2  26658  tanabsge  26724  sineq0  26742  divlogrlim  26853  logcnlem3  26862  logcnlem4  26863  logtayllem  26877  logtayl  26878  abscxp2  26911  logbgcd1irr  27012  chordthmlem4  27053  rlimcnp  27183  lgamgulmlem2  27247  lgamgulmlem5  27250  lgamcvg2  27272  ftalem5  27294  lgsval2lem  27524  lgsval4a  27536  2sqlem3  27637  chebbnd1  27689  chtppilimlem2  27691  chto1ub  27693  vmadivsum  27699  vmadivsumb  27700  rpvmasumlem  27704  dchrisumlem2  27707  dchrisumlem3  27708  dchrvmasumlem2  27715  dchrvmasumiflem1  27718  dchrisum0fno1  27728  dchrisum0re  27730  rplogsum  27744  mulog2sumlem1  27751  mulog2sumlem2  27752  2vmadivsumlem  27757  selbergb  27766  selberg2lem  27767  selberg2b  27769  selberg3lem1  27774  selberg3lem2  27775  selberg4lem1  27777  pntrsumo1  27782  pntrlog2bndlem1  27794  pntrlog2bndlem2  27795  pntrlog2bndlem3  27796  pntrlog2bndlem5  27798  pntrlog2bndlem6  27800  pntrlog2bnd  27801  pntpbnd1a  27802  pntpbnd1  27803  pntibndlem2  27808  ostth2  27854  htthlem  31342  bcsiALT  31604  norm1  31674  pjhthlem1  31816  nmbdoplbi  32449  nmcexi  32451  nmcopexi  32452  nmcoplbi  32453  nmbdfnlbi  32474  nmcfnexi  32476  nmcfnlbi  32477  cnlnadjlem7  32498  nmopcoi  32520  nmopcoadji  32526  branmfn  32530  strlem1  32675  sgnval2  33152  constrdircl  34221  iconstr  34222  constrinvcl  34229  constrresqrtcl  34233  constrabscl  34234  constrsqrtcl  34235  cos9thpinconstrlem1  34245  subfaclim  35719  dnizphlfeqhlf  37124  dnibndlem6  37131  dnibndlem9  37134  knoppndvlem11  37170  knoppndvlem14  37173  poimirlem29  38359  ftc1cnnclem  38401  ftc1anclem5  38407  lmclim2  38469  geomcau  38470  cntotbnd  38507  gcdnn0id  43150  readvrec  43183  irrapxlem2  43610  irrapxlem5  43613  pellexlem2  43617  oddcomabszz  43731  jm2.19  43780  jm2.26lem3  43788  absmulrposd  44945  nzprmdif  45089  0ellimcdiv  46423  stoweidlem7  46781  fourierdlem30  46911  fourierdlem39  46920  etransclem23  47031  etransclem41  47049  hoiqssbllem2  47397  modlt0b  48166  blenre  49413  blennn  49414