Theorem absidd 15450

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15323	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  ℝcr 11072  0cc0 11073   ≤ cle 11217  abscabs 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263

This theorem is referenced by:  nn0absid  15457  rlimno1  15681  iseralt  15712  cvgcmpce  15846  divrcnv  15882  geomulcvg  15906  cvgrat  15913  mertenslem2  15915  eftabs  16105  efcllem  16107  efaddlem  16123  eftlub  16141  eflegeo  16153  ef01bndlem  16216  absef  16229  efieq1re  16231  dvdseq  16348  divalg2  16439  nn0gcdid0  16555  absmulgcd  16583  nn0rppwr  16595  nn0expgcd  16598  lcmgcdlem  16640  mulgcddvds  16689  phibndlem  16805  dfphi2  16809  mul4sqlem  16989  4sqlem11  16991  prmirredlem  21524  prmirred  21526  blcvx  24858  reperflem  24879  reconnlem2  24888  nmoleub2lem3  25177  nmoleub3  25181  tcphcphlem1  25297  iscmet3lem3  25352  pjthlem1  25499  lhop1lem  26075  ftc1lem4  26101  plyeq0lem  26270  aalioulem4  26399  mtest  26467  radcnvlem1  26476  radcnvlt1  26481  radcnvle  26483  dvradcnv  26484  pserdvlem2  26491  abelth2  26505  tanabsge  26571  sineq0  26589  divlogrlim  26700  logcnlem3  26709  logcnlem4  26710  logtayllem  26724  logtayl  26725  abscxp2  26758  logbgcd1irr  26859  chordthmlem4  26900  rlimcnp  27030  lgamgulmlem2  27094  lgamgulmlem5  27097  lgamcvg2  27119  ftalem5  27141  lgsval2lem  27371  lgsval4a  27383  2sqlem3  27484  chebbnd1  27536  chtppilimlem2  27538  chto1ub  27540  vmadivsum  27546  vmadivsumb  27547  rpvmasumlem  27551  dchrisumlem2  27554  dchrisumlem3  27555  dchrvmasumlem2  27562  dchrvmasumiflem1  27565  dchrisum0fno1  27575  dchrisum0re  27577  rplogsum  27591  mulog2sumlem1  27598  mulog2sumlem2  27599  2vmadivsumlem  27604  selbergb  27613  selberg2lem  27614  selberg2b  27616  selberg3lem1  27621  selberg3lem2  27622  selberg4lem1  27624  pntrsumo1  27629  pntrlog2bndlem1  27641  pntrlog2bndlem2  27642  pntrlog2bndlem3  27643  pntrlog2bndlem5  27645  pntrlog2bndlem6  27647  pntrlog2bnd  27648  pntpbnd1a  27649  pntpbnd1  27650  pntibndlem2  27655  ostth2  27701  htthlem  31120  bcsiALT  31382  norm1  31452  pjhthlem1  31594  nmbdoplbi  32227  nmcexi  32229  nmcopexi  32230  nmcoplbi  32231  nmbdfnlbi  32252  nmcfnexi  32254  nmcfnlbi  32255  cnlnadjlem7  32276  nmopcoi  32298  nmopcoadji  32304  branmfn  32308  strlem1  32453  sgnval2  32937  constrdircl  34062  iconstr  34063  constrinvcl  34070  constrresqrtcl  34074  constrabscl  34075  constrsqrtcl  34076  cos9thpinconstrlem1  34086  subfaclim  35538  dnizphlfeqhlf  36914  dnibndlem6  36921  dnibndlem9  36924  knoppndvlem11  36960  knoppndvlem14  36963  poimirlem29  38148  ftc1cnnclem  38190  ftc1anclem5  38196  lmclim2  38257  geomcau  38258  cntotbnd  38295  gcdnn0id  42938  readvrec  42971  irrapxlem2  43400  irrapxlem5  43403  pellexlem2  43407  oddcomabszz  43521  jm2.19  43570  jm2.26lem3  43578  absmulrposd  44735  nzprmdif  44895  0ellimcdiv  46223  stoweidlem7  46581  fourierdlem30  46711  fourierdlem39  46720  etransclem23  46831  etransclem41  46849  hoiqssbllem2  47197  modlt0b  47963  blenre  49196  blennn  49197