Theorem absidd 15439

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  ℝcr 11126  0cc0 11127   ≤ cle 11268  abscabs 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253

This theorem is referenced by:  rlimno1  15668  iseralt  15699  cvgcmpce  15832  divrcnv  15866  geomulcvg  15890  cvgrat  15897  mertenslem2  15899  eftabs  16089  efcllem  16091  efaddlem  16107  eftlub  16125  eflegeo  16137  ef01bndlem  16200  absef  16213  efieq1re  16215  dvdseq  16331  divalg2  16422  nn0gcdid0  16538  absmulgcd  16566  nn0rppwr  16578  nn0expgcd  16581  lcmgcdlem  16623  mulgcddvds  16672  phibndlem  16787  dfphi2  16791  mul4sqlem  16971  4sqlem11  16973  prmirredlem  21431  prmirred  21433  blcvx  24735  reperflem  24756  reconnlem2  24765  nmoleub2lem3  25064  nmoleub3  25068  tcphcphlem1  25185  iscmet3lem3  25240  pjthlem1  25387  lhop1lem  25968  ftc1lem4  25996  plyeq0lem  26165  aalioulem4  26293  mtest  26363  radcnvlem1  26372  radcnvlt1  26377  radcnvle  26379  dvradcnv  26380  pserdvlem2  26388  abelth2  26402  tanabsge  26465  sineq0  26483  divlogrlim  26594  logcnlem3  26603  logcnlem4  26604  logtayllem  26618  logtayl  26619  abscxp2  26652  logbgcd1irr  26754  chordthmlem4  26795  rlimcnp  26925  lgamgulmlem2  26990  lgamgulmlem5  26993  lgamcvg2  27015  ftalem5  27037  lgsval2lem  27268  lgsval4a  27280  2sqlem3  27381  chebbnd1  27433  chtppilimlem2  27435  chto1ub  27437  vmadivsum  27443  vmadivsumb  27444  rpvmasumlem  27448  dchrisumlem2  27451  dchrisumlem3  27452  dchrvmasumlem2  27459  dchrvmasumiflem1  27462  dchrisum0fno1  27472  dchrisum0re  27474  rplogsum  27488  mulog2sumlem1  27495  mulog2sumlem2  27496  2vmadivsumlem  27501  selbergb  27510  selberg2lem  27511  selberg2b  27513  selberg3lem1  27518  selberg3lem2  27519  selberg4lem1  27521  pntrsumo1  27526  pntrlog2bndlem1  27538  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem5  27542  pntrlog2bndlem6  27544  pntrlog2bnd  27545  pntpbnd1a  27546  pntpbnd1  27547  pntibndlem2  27552  ostth2  27598  htthlem  30844  bcsiALT  31106  norm1  31176  pjhthlem1  31318  nmbdoplbi  31951  nmcexi  31953  nmcopexi  31954  nmcoplbi  31955  nmbdfnlbi  31976  nmcfnexi  31978  nmcfnlbi  31979  cnlnadjlem7  32000  nmopcoi  32022  nmopcoadji  32028  branmfn  32032  strlem1  32177  sgnval2  32658  constrdircl  33745  iconstr  33746  constrinvcl  33753  constrresqrtcl  33757  constrabscl  33758  constrsqrtcl  33759  cos9thpinconstrlem1  33769  subfaclim  35156  dnizphlfeqhlf  36440  dnibndlem6  36447  dnibndlem9  36450  knoppndvlem11  36486  knoppndvlem14  36489  poimirlem29  37619  ftc1cnnclem  37661  ftc1anclem5  37667  lmclim2  37728  geomcau  37729  cntotbnd  37766  gcdnn0id  42325  readvrec  42352  irrapxlem2  42793  irrapxlem5  42796  pellexlem2  42800  oddcomabszz  42915  jm2.19  42964  jm2.26lem3  42972  absmulrposd  44130  nzprmdif  44291  0ellimcdiv  45626  stoweidlem7  45984  fourierdlem30  46114  fourierdlem39  46123  etransclem23  46234  etransclem41  46252  hoiqssbllem2  46600  blenre  48502  blennn  48503