Theorem absidd 15143

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15017	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  ℝcr 10879  0cc0 10880   ≤ cle 11019  abscabs 14954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956

This theorem is referenced by:  rlimno1  15374  iseralt  15405  cvgcmpce  15539  divrcnv  15573  geomulcvg  15597  cvgrat  15604  mertenslem2  15606  eftabs  15794  efcllem  15796  efaddlem  15811  eftlub  15827  eflegeo  15839  ef01bndlem  15902  absef  15915  efieq1re  15917  dvdseq  16032  divalg2  16123  nn0gcdid0  16237  absmulgcd  16266  gcdmultipleOLD  16269  gcdmultiplezOLD  16270  lcmgcdlem  16320  mulgcddvds  16369  phibndlem  16480  dfphi2  16484  mul4sqlem  16663  4sqlem11  16665  prmirredlem  20703  prmirred  20705  blcvx  23970  reperflem  23990  reconnlem2  23999  nmoleub2lem3  24287  nmoleub3  24291  tcphcphlem1  24408  iscmet3lem3  24463  pjthlem1  24610  lhop1lem  25186  ftc1lem4  25212  plyeq0lem  25380  aalioulem4  25504  mtest  25572  radcnvlem1  25581  radcnvlt1  25586  radcnvle  25588  dvradcnv  25589  pserdvlem2  25596  abelth2  25610  tanabsge  25672  sineq0  25689  divlogrlim  25799  logcnlem3  25808  logcnlem4  25809  logtayllem  25823  logtayl  25824  abscxp2  25857  logbgcd1irr  25953  chordthmlem4  25994  rlimcnp  26124  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem5  26191  lgamcvg2  26213  ftalem5  26235  lgsval2lem  26464  lgsval4a  26476  2sqlem3  26577  chebbnd1  26629  chtppilimlem2  26631  chto1ub  26633  vmadivsum  26639  vmadivsumb  26640  rpvmasumlem  26644  dchrisumlem2  26647  dchrisumlem3  26648  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0fno1  26668  dchrisum0re  26670  rplogsum  26684  mulog2sumlem1  26691  mulog2sumlem2  26692  2vmadivsumlem  26697  selbergb  26706  selberg2lem  26707  selberg2b  26709  selberg3lem1  26714  selberg3lem2  26715  selberg4lem1  26717  pntrsumo1  26722  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem3  26736  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6  26740  pntrlog2bnd  26741  pntpbnd1a  26742  pntpbnd1  26743  pntibndlem2  26748  ostth2  26794  htthlem  29288  bcsiALT  29550  norm1  29620  pjhthlem1  29762  nmbdoplbi  30395  nmcexi  30397  nmcopexi  30398  nmcoplbi  30399  nmbdfnlbi  30420  nmcfnexi  30422  nmcfnlbi  30423  cnlnadjlem7  30444  nmopcoi  30466  nmopcoadji  30472  branmfn  30476  strlem1  30621  subfaclim  33159  dnizphlfeqhlf  34665  dnibndlem6  34672  dnibndlem9  34675  knoppndvlem11  34711  knoppndvlem14  34714  poimirlem29  35815  ftc1cnnclem  35857  ftc1anclem5  35863  lmclim2  35925  geomcau  35926  cntotbnd  35963  gcdnn0id  40336  nn0rppwr  40340  nn0expgcd  40342  irrapxlem2  40652  irrapxlem5  40655  pellexlem2  40659  oddcomabszz  40773  jm2.19  40822  jm2.26lem3  40830  absmulrposd  41776  nzprmdif  41944  0ellimcdiv  43197  stoweidlem7  43555  fourierdlem30  43685  fourierdlem39  43694  etransclem23  43805  etransclem41  43823  hoiqssbllem2  44168  blenre  45931  blennn  45932