Theorem absidd 15346

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  0cc0 11026   ≤ cle 11167  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  nn0absid  15353  rlimno1  15577  iseralt  15608  cvgcmpce  15741  divrcnv  15775  geomulcvg  15799  cvgrat  15806  mertenslem2  15808  eftabs  15998  efcllem  16000  efaddlem  16016  eftlub  16034  eflegeo  16046  ef01bndlem  16109  absef  16122  efieq1re  16124  dvdseq  16241  divalg2  16332  nn0gcdid0  16448  absmulgcd  16476  nn0rppwr  16488  nn0expgcd  16491  lcmgcdlem  16533  mulgcddvds  16582  phibndlem  16697  dfphi2  16701  mul4sqlem  16881  4sqlem11  16883  prmirredlem  21427  prmirred  21429  blcvx  24742  reperflem  24763  reconnlem2  24772  nmoleub2lem3  25071  nmoleub3  25075  tcphcphlem1  25191  iscmet3lem3  25246  pjthlem1  25393  lhop1lem  25974  ftc1lem4  26002  plyeq0lem  26171  aalioulem4  26299  mtest  26369  radcnvlem1  26378  radcnvlt1  26383  radcnvle  26385  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26394  abelth2  26408  tanabsge  26471  sineq0  26489  divlogrlim  26600  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  logtayllem  26624  logtayl  26625  abscxp2  26658  logbgcd1irr  26760  chordthmlem4  26801  rlimcnp  26931  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem5  26999  lgamcvg2  27021  ftalem5  27043  lgsval2lem  27274  lgsval4a  27286  2sqlem3  27387  chebbnd1  27439  chtppilimlem2  27441  chto1ub  27443  vmadivsum  27449  vmadivsumb  27450  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0re  27480  rplogsum  27494  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  2vmadivsumlem  27507  selbergb  27516  selberg2lem  27517  selberg2b  27519  selberg3lem1  27524  selberg3lem2  27525  selberg4lem1  27527  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  pntibndlem2  27558  ostth2  27604  htthlem  30992  bcsiALT  31254  norm1  31324  pjhthlem1  31466  nmbdoplbi  32099  nmcexi  32101  nmcopexi  32102  nmcoplbi  32103  nmbdfnlbi  32124  nmcfnexi  32126  nmcfnlbi  32127  cnlnadjlem7  32148  nmopcoi  32170  nmopcoadji  32176  branmfn  32180  strlem1  32325  sgnval2  32814  constrdircl  33922  iconstr  33923  constrinvcl  33930  constrresqrtcl  33934  constrabscl  33935  constrsqrtcl  33936  cos9thpinconstrlem1  33946  subfaclim  35382  dnizphlfeqhlf  36676  dnibndlem6  36683  dnibndlem9  36686  knoppndvlem11  36722  knoppndvlem14  36725  poimirlem29  37850  ftc1cnnclem  37892  ftc1anclem5  37898  lmclim2  37959  geomcau  37960  cntotbnd  37997  gcdnn0id  42594  readvrec  42627  irrapxlem2  43075  irrapxlem5  43078  pellexlem2  43082  oddcomabszz  43196  jm2.19  43245  jm2.26lem3  43253  absmulrposd  44410  nzprmdif  44570  0ellimcdiv  45903  stoweidlem7  46261  fourierdlem30  46391  fourierdlem39  46400  etransclem23  46511  etransclem41  46529  hoiqssbllem2  46877  modlt0b  47619  blenre  48830  blennn  48831