Theorem absidd 15376

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  nn0absid  15383  rlimno1  15607  iseralt  15638  cvgcmpce  15772  divrcnv  15808  geomulcvg  15832  cvgrat  15839  mertenslem2  15841  eftabs  16031  efcllem  16033  efaddlem  16049  eftlub  16067  eflegeo  16079  ef01bndlem  16142  absef  16155  efieq1re  16157  dvdseq  16274  divalg2  16365  nn0gcdid0  16481  absmulgcd  16509  nn0rppwr  16521  nn0expgcd  16524  lcmgcdlem  16566  mulgcddvds  16615  phibndlem  16731  dfphi2  16735  mul4sqlem  16915  4sqlem11  16917  prmirredlem  21447  prmirred  21449  blcvx  24781  reperflem  24802  reconnlem2  24811  nmoleub2lem3  25100  nmoleub3  25104  tcphcphlem1  25220  iscmet3lem3  25275  pjthlem1  25422  lhop1lem  25998  ftc1lem4  26024  plyeq0lem  26193  aalioulem4  26319  mtest  26387  radcnvlem1  26396  radcnvlt1  26401  radcnvle  26403  dvradcnv  26404  pserdvlem2  26411  abelth2  26425  tanabsge  26488  sineq0  26506  divlogrlim  26617  logcnlem3  26626  logcnlem4  26627  logtayllem  26641  logtayl  26642  abscxp2  26675  logbgcd1irr  26776  chordthmlem4  26817  rlimcnp  26947  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem5  27014  lgamcvg2  27036  ftalem5  27058  lgsval2lem  27288  lgsval4a  27300  2sqlem3  27401  chebbnd1  27453  chtppilimlem2  27455  chto1ub  27457  vmadivsum  27463  vmadivsumb  27464  rpvmasumlem  27468  dchrisumlem2  27471  dchrisumlem3  27472  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0re  27494  rplogsum  27508  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  2vmadivsumlem  27521  selbergb  27530  selberg2lem  27531  selberg2b  27533  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg4lem1  27541  pntrsumo1  27546  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd1  27567  pntibndlem2  27572  ostth2  27618  htthlem  31006  bcsiALT  31268  norm1  31338  pjhthlem1  31480  nmbdoplbi  32113  nmcexi  32115  nmcopexi  32116  nmcoplbi  32117  nmbdfnlbi  32138  nmcfnexi  32140  nmcfnlbi  32141  cnlnadjlem7  32162  nmopcoi  32184  nmopcoadji  32190  branmfn  32194  strlem1  32339  sgnval2  32827  constrdircl  33949  iconstr  33950  constrinvcl  33957  constrresqrtcl  33961  constrabscl  33962  constrsqrtcl  33963  cos9thpinconstrlem1  33973  subfaclim  35416  dnizphlfeqhlf  36782  dnibndlem6  36789  dnibndlem9  36792  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem14  36831  poimirlem29  38016  ftc1cnnclem  38058  ftc1anclem5  38064  lmclim2  38125  geomcau  38126  cntotbnd  38163  gcdnn0id  42806  readvrec  42839  irrapxlem2  43268  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  oddcomabszz  43389  jm2.19  43438  jm2.26lem3  43446  absmulrposd  44603  nzprmdif  44763  0ellimcdiv  46092  stoweidlem7  46450  fourierdlem30  46580  fourierdlem39  46589  etransclem23  46700  etransclem41  46718  hoiqssbllem2  47066  modlt0b  47832  blenre  49065  blennn  49066