Theorem absidd 15396

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15269	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11216  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  nn0absid  15403  rlimno1  15627  iseralt  15658  cvgcmpce  15791  divrcnv  15825  geomulcvg  15849  cvgrat  15856  mertenslem2  15858  eftabs  16048  efcllem  16050  efaddlem  16066  eftlub  16084  eflegeo  16096  ef01bndlem  16159  absef  16172  efieq1re  16174  dvdseq  16291  divalg2  16382  nn0gcdid0  16498  absmulgcd  16526  nn0rppwr  16538  nn0expgcd  16541  lcmgcdlem  16583  mulgcddvds  16632  phibndlem  16747  dfphi2  16751  mul4sqlem  16931  4sqlem11  16933  prmirredlem  21389  prmirred  21391  blcvx  24693  reperflem  24714  reconnlem2  24723  nmoleub2lem3  25022  nmoleub3  25026  tcphcphlem1  25142  iscmet3lem3  25197  pjthlem1  25344  lhop1lem  25925  ftc1lem4  25953  plyeq0lem  26122  aalioulem4  26250  mtest  26320  radcnvlem1  26329  radcnvlt1  26334  radcnvle  26336  dvradcnv  26337  pserdvlem2  26345  abelth2  26359  tanabsge  26422  sineq0  26440  divlogrlim  26551  logcnlem3  26560  logcnlem4  26561  logtayllem  26575  logtayl  26576  abscxp2  26609  logbgcd1irr  26711  chordthmlem4  26752  rlimcnp  26882  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem5  26950  lgamcvg2  26972  ftalem5  26994  lgsval2lem  27225  lgsval4a  27237  2sqlem3  27338  chebbnd1  27390  chtppilimlem2  27392  chto1ub  27394  vmadivsum  27400  vmadivsumb  27401  rpvmasumlem  27405  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0re  27431  rplogsum  27445  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  2vmadivsumlem  27458  selbergb  27467  selberg2lem  27468  selberg2b  27470  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg4lem1  27478  pntrsumo1  27483  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  pntibndlem2  27509  ostth2  27555  htthlem  30853  bcsiALT  31115  norm1  31185  pjhthlem1  31327  nmbdoplbi  31960  nmcexi  31962  nmcopexi  31963  nmcoplbi  31964  nmbdfnlbi  31985  nmcfnexi  31987  nmcfnlbi  31988  cnlnadjlem7  32009  nmopcoi  32031  nmopcoadji  32037  branmfn  32041  strlem1  32186  sgnval2  32665  constrdircl  33762  iconstr  33763  constrinvcl  33770  constrresqrtcl  33774  constrabscl  33775  constrsqrtcl  33776  cos9thpinconstrlem1  33786  subfaclim  35182  dnizphlfeqhlf  36471  dnibndlem6  36478  dnibndlem9  36481  knoppndvlem11  36517  knoppndvlem14  36520  poimirlem29  37650  ftc1cnnclem  37692  ftc1anclem5  37698  lmclim2  37759  geomcau  37760  cntotbnd  37797  gcdnn0id  42324  readvrec  42357  irrapxlem2  42818  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  oddcomabszz  42940  jm2.19  42989  jm2.26lem3  42997  absmulrposd  44155  nzprmdif  44315  0ellimcdiv  45654  stoweidlem7  46012  fourierdlem30  46142  fourierdlem39  46151  etransclem23  46262  etransclem41  46280  hoiqssbllem2  46628  modlt0b  47368  blenre  48567  blennn  48568