Theorem absidd 14785

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 14659	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  ℝcr 10539  0cc0 10540   ≤ cle 10679  abscabs 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598

This theorem is referenced by:  rlimno1  15013  iseralt  15044  cvgcmpce  15176  divrcnv  15210  geomulcvg  15235  cvgrat  15242  mertenslem2  15244  eftabs  15432  efcllem  15434  efaddlem  15449  eftlub  15465  eflegeo  15477  ef01bndlem  15540  absef  15553  efieq1re  15555  dvdseq  15667  divalg2  15759  nn0gcdid0  15872  absmulgcd  15900  gcdmultipleOLD  15903  gcdmultiplezOLD  15904  lcmgcdlem  15953  mulgcddvds  16002  phibndlem  16110  dfphi2  16114  mul4sqlem  16292  4sqlem11  16294  prmirredlem  20643  prmirred  20645  blcvx  23409  reperflem  23429  reconnlem2  23438  nmoleub2lem3  23722  nmoleub3  23726  tcphcphlem1  23841  iscmet3lem3  23896  pjthlem1  24043  lhop1lem  24613  ftc1lem4  24639  plyeq0lem  24803  aalioulem4  24927  mtest  24995  radcnvlem1  25004  radcnvlt1  25009  radcnvle  25011  dvradcnv  25012  pserdvlem2  25019  abelth2  25033  tanabsge  25095  sineq0  25112  divlogrlim  25221  logcnlem3  25230  logcnlem4  25231  logtayllem  25245  logtayl  25246  abscxp2  25279  logbgcd1irr  25375  chordthmlem4  25416  rlimcnp  25546  lgamgulmlem2  25610  lgamgulmlem5  25613  lgamcvg2  25635  ftalem5  25657  lgsval2lem  25886  lgsval4a  25898  2sqlem3  25999  chebbnd1  26051  chtppilimlem2  26053  chto1ub  26055  vmadivsum  26061  vmadivsumb  26062  rpvmasumlem  26066  dchrisumlem2  26069  dchrisumlem3  26070  dchrvmasumlem2  26077  dchrvmasumiflem1  26080  dchrisum0fno1  26090  dchrisum0re  26092  rplogsum  26106  mulog2sumlem1  26113  mulog2sumlem2  26114  2vmadivsumlem  26119  selbergb  26128  selberg2lem  26129  selberg2b  26131  selberg3lem1  26136  selberg3lem2  26137  selberg4lem1  26139  pntrsumo1  26144  pntrlog2bndlem1  26156  pntrlog2bndlem2  26157  pntrlog2bndlem3  26158  pntrlog2bndlem5  26160  pntrlog2bndlem6  26162  pntrlog2bnd  26163  pntpbnd1a  26164  pntpbnd1  26165  pntibndlem2  26170  ostth2  26216  htthlem  28697  bcsiALT  28959  norm1  29029  pjhthlem1  29171  nmbdoplbi  29804  nmcexi  29806  nmcopexi  29807  nmcoplbi  29808  nmbdfnlbi  29829  nmcfnexi  29831  nmcfnlbi  29832  cnlnadjlem7  29853  nmopcoi  29875  nmopcoadji  29881  branmfn  29885  strlem1  30030  subfaclim  32439  dnizphlfeqhlf  33819  dnibndlem6  33826  dnibndlem9  33829  knoppndvlem11  33865  knoppndvlem14  33868  poimirlem29  34925  ftc1cnnclem  34969  ftc1anclem5  34975  lmclim2  35037  geomcau  35038  cntotbnd  35078  nn0rppwr  39188  nn0expgcd  39190  irrapxlem2  39426  irrapxlem5  39429  pellexlem2  39433  oddcomabszz  39547  jm2.19  39596  jm2.26lem3  39604  absmulrposd  40515  nzprmdif  40657  0ellimcdiv  41936  stoweidlem7  42299  fourierdlem30  42429  fourierdlem39  42438  etransclem23  42549  etransclem41  42567  hoiqssbllem2  42912  blenre  44641  blennn  44642