Theorem absidd 15457

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15331	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  0cc0 11152   ≤ cle 11293  abscabs 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271

This theorem is referenced by:  rlimno1  15686  iseralt  15717  cvgcmpce  15850  divrcnv  15884  geomulcvg  15908  cvgrat  15915  mertenslem2  15917  eftabs  16107  efcllem  16109  efaddlem  16125  eftlub  16141  eflegeo  16153  ef01bndlem  16216  absef  16229  efieq1re  16231  dvdseq  16347  divalg2  16438  nn0gcdid0  16554  absmulgcd  16582  nn0rppwr  16594  nn0expgcd  16597  lcmgcdlem  16639  mulgcddvds  16688  phibndlem  16803  dfphi2  16807  mul4sqlem  16986  4sqlem11  16988  prmirredlem  21500  prmirred  21502  blcvx  24833  reperflem  24853  reconnlem2  24862  nmoleub2lem3  25161  nmoleub3  25165  tcphcphlem1  25282  iscmet3lem3  25337  pjthlem1  25484  lhop1lem  26066  ftc1lem4  26094  plyeq0lem  26263  aalioulem4  26391  mtest  26461  radcnvlem1  26470  radcnvlt1  26475  radcnvle  26477  dvradcnv  26478  pserdvlem2  26486  abelth2  26500  tanabsge  26562  sineq0  26580  divlogrlim  26691  logcnlem3  26700  logcnlem4  26701  logtayllem  26715  logtayl  26716  abscxp2  26749  logbgcd1irr  26851  chordthmlem4  26892  rlimcnp  27022  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem5  27090  lgamcvg2  27112  ftalem5  27134  lgsval2lem  27365  lgsval4a  27377  2sqlem3  27478  chebbnd1  27530  chtppilimlem2  27532  chto1ub  27534  vmadivsum  27540  vmadivsumb  27541  rpvmasumlem  27545  dchrisumlem2  27548  dchrisumlem3  27549  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0re  27571  rplogsum  27585  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  2vmadivsumlem  27598  selbergb  27607  selberg2lem  27608  selberg2b  27610  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  selberg4lem1  27618  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntibndlem2  27649  ostth2  27695  htthlem  30945  bcsiALT  31207  norm1  31277  pjhthlem1  31419  nmbdoplbi  32052  nmcexi  32054  nmcopexi  32055  nmcoplbi  32056  nmbdfnlbi  32077  nmcfnexi  32079  nmcfnlbi  32080  cnlnadjlem7  32101  nmopcoi  32123  nmopcoadji  32129  branmfn  32133  strlem1  32278  subfaclim  35172  dnizphlfeqhlf  36458  dnibndlem6  36465  dnibndlem9  36468  knoppndvlem11  36504  knoppndvlem14  36507  poimirlem29  37635  ftc1cnnclem  37677  ftc1anclem5  37683  lmclim2  37744  geomcau  37745  cntotbnd  37782  gcdnn0id  42342  readvrec  42370  irrapxlem2  42810  irrapxlem5  42813  pellexlem2  42817  oddcomabszz  42932  jm2.19  42981  jm2.26lem3  42989  absmulrposd  44148  nzprmdif  44314  0ellimcdiv  45604  stoweidlem7  45962  fourierdlem30  46092  fourierdlem39  46101  etransclem23  46212  etransclem41  46230  hoiqssbllem2  46578  blenre  48423  blennn  48424