Theorem absidd 15062

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 14936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  0cc0 10802   ≤ cle 10941  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  rlimno1  15293  iseralt  15324  cvgcmpce  15458  divrcnv  15492  geomulcvg  15516  cvgrat  15523  mertenslem2  15525  eftabs  15713  efcllem  15715  efaddlem  15730  eftlub  15746  eflegeo  15758  ef01bndlem  15821  absef  15834  efieq1re  15836  dvdseq  15951  divalg2  16042  nn0gcdid0  16156  absmulgcd  16185  gcdmultipleOLD  16188  gcdmultiplezOLD  16189  lcmgcdlem  16239  mulgcddvds  16288  phibndlem  16399  dfphi2  16403  mul4sqlem  16582  4sqlem11  16584  prmirredlem  20606  prmirred  20608  blcvx  23867  reperflem  23887  reconnlem2  23896  nmoleub2lem3  24184  nmoleub3  24188  tcphcphlem1  24304  iscmet3lem3  24359  pjthlem1  24506  lhop1lem  25082  ftc1lem4  25108  plyeq0lem  25276  aalioulem4  25400  mtest  25468  radcnvlem1  25477  radcnvlt1  25482  radcnvle  25484  dvradcnv  25485  pserdvlem2  25492  abelth2  25506  tanabsge  25568  sineq0  25585  divlogrlim  25695  logcnlem3  25704  logcnlem4  25705  logtayllem  25719  logtayl  25720  abscxp2  25753  logbgcd1irr  25849  chordthmlem4  25890  rlimcnp  26020  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem5  26087  lgamcvg2  26109  ftalem5  26131  lgsval2lem  26360  lgsval4a  26372  2sqlem3  26473  chebbnd1  26525  chtppilimlem2  26527  chto1ub  26529  vmadivsum  26535  vmadivsumb  26536  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem2  26543  dchrisumlem3  26544  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumiflem1  26554  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0re  26566  rplogsum  26580  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  2vmadivsumlem  26593  selbergb  26602  selberg2lem  26603  selberg2b  26605  selberg3lem1  26610  selberg3lem2  26611  selberg4lem1  26613  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntpbnd1  26639  pntibndlem2  26644  ostth2  26690  htthlem  29180  bcsiALT  29442  norm1  29512  pjhthlem1  29654  nmbdoplbi  30287  nmcexi  30289  nmcopexi  30290  nmcoplbi  30291  nmbdfnlbi  30312  nmcfnexi  30314  nmcfnlbi  30315  cnlnadjlem7  30336  nmopcoi  30358  nmopcoadji  30364  branmfn  30368  strlem1  30513  subfaclim  33050  dnizphlfeqhlf  34583  dnibndlem6  34590  dnibndlem9  34593  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  poimirlem29  35733  ftc1cnnclem  35775  ftc1anclem5  35781  lmclim2  35843  geomcau  35844  cntotbnd  35881  gcdnn0id  40250  nn0rppwr  40254  nn0expgcd  40256  irrapxlem2  40561  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  oddcomabszz  40682  jm2.19  40731  jm2.26lem3  40739  absmulrposd  41658  nzprmdif  41826  0ellimcdiv  43080  stoweidlem7  43438  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  etransclem23  43688  etransclem41  43706  hoiqssbllem2  44051  blenre  45808  blennn  45809