Theorem absidd 15471

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  0cc0 11184   ≤ cle 11325  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  rlimno1  15702  iseralt  15733  cvgcmpce  15866  divrcnv  15900  geomulcvg  15924  cvgrat  15931  mertenslem2  15933  eftabs  16123  efcllem  16125  efaddlem  16141  eftlub  16157  eflegeo  16169  ef01bndlem  16232  absef  16245  efieq1re  16247  dvdseq  16362  divalg2  16453  nn0gcdid0  16567  absmulgcd  16596  nn0rppwr  16608  nn0expgcd  16611  lcmgcdlem  16653  mulgcddvds  16702  phibndlem  16817  dfphi2  16821  mul4sqlem  17000  4sqlem11  17002  prmirredlem  21506  prmirred  21508  blcvx  24839  reperflem  24859  reconnlem2  24868  nmoleub2lem3  25167  nmoleub3  25171  tcphcphlem1  25288  iscmet3lem3  25343  pjthlem1  25490  lhop1lem  26072  ftc1lem4  26100  plyeq0lem  26269  aalioulem4  26395  mtest  26465  radcnvlem1  26474  radcnvlt1  26479  radcnvle  26481  dvradcnv  26482  pserdvlem2  26490  abelth2  26504  tanabsge  26566  sineq0  26584  divlogrlim  26695  logcnlem3  26704  logcnlem4  26705  logtayllem  26719  logtayl  26720  abscxp2  26753  logbgcd1irr  26855  chordthmlem4  26896  rlimcnp  27026  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem5  27094  lgamcvg2  27116  ftalem5  27138  lgsval2lem  27369  lgsval4a  27381  2sqlem3  27482  chebbnd1  27534  chtppilimlem2  27536  chto1ub  27538  vmadivsum  27544  vmadivsumb  27545  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0re  27575  rplogsum  27589  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  2vmadivsumlem  27602  selbergb  27611  selberg2lem  27612  selberg2b  27614  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg4lem1  27622  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntibndlem2  27653  ostth2  27699  htthlem  30949  bcsiALT  31211  norm1  31281  pjhthlem1  31423  nmbdoplbi  32056  nmcexi  32058  nmcopexi  32059  nmcoplbi  32060  nmbdfnlbi  32081  nmcfnexi  32083  nmcfnlbi  32084  cnlnadjlem7  32105  nmopcoi  32127  nmopcoadji  32133  branmfn  32137  strlem1  32282  subfaclim  35156  dnizphlfeqhlf  36442  dnibndlem6  36449  dnibndlem9  36452  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem14  36491  poimirlem29  37609  ftc1cnnclem  37651  ftc1anclem5  37657  lmclim2  37718  geomcau  37719  cntotbnd  37756  gcdnn0id  42316  irrapxlem2  42779  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  oddcomabszz  42901  jm2.19  42950  jm2.26lem3  42958  absmulrposd  44121  nzprmdif  44288  0ellimcdiv  45570  stoweidlem7  45928  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  etransclem23  46178  etransclem41  46196  hoiqssbllem2  46544  blenre  48308  blennn  48309