Theorem absidd 15599

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  ℝcr 11206  0cc0 11207   ≤ cle 11351  abscabs 15410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by:  nn0absid  15606  rlimno1  15830  iseralt  15861  cvgcmpce  15994  divrcnv  16030  geomulcvg  16054  cvgrat  16061  mertenslem2  16063  eftabs  16250  efcllem  16252  efaddlem  16268  eftlub  16286  eflegeo  16298  ef01bndlem  16361  absef  16374  efieq1re  16376  dvdseq  16493  divalg2  16584  nn0gcdid0  16702  gcdnn0id  16709  absmulgcd  16731  nn0rppwr  16744  nn0expgcd  16747  lcmgcdlem  16790  mulgcddvds  16839  phibndlem  16956  dfphi2  16960  mul4sqlem  17140  4sqlem11  17142  prmirredlem  21787  prmirred  21789  blcvx  25126  reperflem  25147  reconnlem2  25156  nmoleub2lem3  25445  nmoleub3  25449  tcphcphlem1  25565  iscmet3lem3  25620  pjthlem1  25767  lhop1lem  26342  ftc1lem4  26368  plyeq0lem  26538  aalioulem4  26671  mtest  26740  radcnvlem1  26749  radcnvlt1  26754  radcnvle  26756  dvradcnv  26757  pserdvlem2  26764  abelth2  26778  tanabsge  26844  sineq0  26861  divlogrlim  26972  logcnlem3  26981  logcnlem4  26982  logtayllem  26996  logtayl  26997  abscxp2  27030  logbgcd1irr  27131  chordthmlem4  27172  rlimcnp  27302  lgamgulmlem2  27366  lgamgulmlem5  27369  lgamcvg2  27391  ftalem5  27413  lgsval2lem  27643  lgsval4a  27655  2sqlem3  27756  chebbnd1  27808  chtppilimlem2  27810  chto1ub  27812  vmadivsum  27818  vmadivsumb  27819  rpvmasumlem  27823  dchrisumlem2  27826  dchrisumlem3  27827  dchrvmasumlem2  27834  dchrvmasumiflem1  27837  dchrisum0fno1  27847  dchrisum0re  27849  rplogsum  27863  mulog2sumlem1  27870  mulog2sumlem2  27871  2vmadivsumlem  27876  selbergb  27885  selberg2lem  27886  selberg2b  27888  selberg3lem1  27893  selberg3lem2  27894  selberg4lem1  27896  pntrsumo1  27901  pntrlog2bndlem1  27913  pntrlog2bndlem2  27914  pntrlog2bndlem3  27915  pntrlog2bndlem5  27917  pntrlog2bndlem6  27919  pntrlog2bnd  27920  pntpbnd1a  27921  pntpbnd1  27922  pntibndlem2  27927  ostth2  27973  htthlem  31528  bcsiALT  31790  norm1  31860  pjhthlem1  32002  nmbdoplbi  32635  nmcexi  32637  nmcopexi  32638  nmcoplbi  32639  nmbdfnlbi  32660  nmcfnexi  32662  nmcfnlbi  32663  cnlnadjlem7  32684  nmopcoi  32706  nmopcoadji  32712  branmfn  32716  strlem1  32861  sgnval2  33377  constrdircl  34447  iconstr  34448  constrinvcl  34455  constrresqrtcl  34459  constrabscl  34460  constrsqrtcl  34461  cos9thpinconstrlem1  34471  subfaclim  36071  dnizphlfeqhlf  37466  dnibndlem6  37473  dnibndlem9  37476  knoppndvlem11  37512  knoppndvlem14  37515  poimirlem29  38704  ftc1cnnclem  38746  ftc1anclem5  38752  lmclim2  38829  geomcau  38830  cntotbnd  38867  readvrec  43550  irrapxlem2  43967  irrapxlem5  43970  pellexlem2  43974  oddcomabszz  44088  jm2.19  44137  jm2.26lem3  44145  absmulrposd  45296  nzprmdif  45440  0ellimcdiv  46795  stoweidlem7  47153  fourierdlem30  47283  fourierdlem39  47292  etransclem23  47403  etransclem41  47421  hoiqssbllem2  47769  modlt0b  48575  blenre  49822  blennn  49823