Theorem absidd 15389

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  abscabs 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202

This theorem is referenced by:  nn0absid  15396  rlimno1  15620  iseralt  15651  cvgcmpce  15784  divrcnv  15818  geomulcvg  15842  cvgrat  15849  mertenslem2  15851  eftabs  16041  efcllem  16043  efaddlem  16059  eftlub  16077  eflegeo  16089  ef01bndlem  16152  absef  16165  efieq1re  16167  dvdseq  16284  divalg2  16375  nn0gcdid0  16491  absmulgcd  16519  nn0rppwr  16531  nn0expgcd  16534  lcmgcdlem  16576  mulgcddvds  16625  phibndlem  16740  dfphi2  16744  mul4sqlem  16924  4sqlem11  16926  prmirredlem  21382  prmirred  21384  blcvx  24686  reperflem  24707  reconnlem2  24716  nmoleub2lem3  25015  nmoleub3  25019  tcphcphlem1  25135  iscmet3lem3  25190  pjthlem1  25337  lhop1lem  25918  ftc1lem4  25946  plyeq0lem  26115  aalioulem4  26243  mtest  26313  radcnvlem1  26322  radcnvlt1  26327  radcnvle  26329  dvradcnv  26330  pserdvlem2  26338  abelth2  26352  tanabsge  26415  sineq0  26433  divlogrlim  26544  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  logtayllem  26568  logtayl  26569  abscxp2  26602  logbgcd1irr  26704  chordthmlem4  26745  rlimcnp  26875  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem5  26943  lgamcvg2  26965  ftalem5  26987  lgsval2lem  27218  lgsval4a  27230  2sqlem3  27331  chebbnd1  27383  chtppilimlem2  27385  chto1ub  27387  vmadivsum  27393  vmadivsumb  27394  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem2  27401  dchrisumlem3  27402  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0re  27424  rplogsum  27438  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  2vmadivsumlem  27451  selbergb  27460  selberg2lem  27461  selberg2b  27463  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg4lem1  27471  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  pntibndlem2  27502  ostth2  27548  htthlem  30846  bcsiALT  31108  norm1  31178  pjhthlem1  31320  nmbdoplbi  31953  nmcexi  31955  nmcopexi  31956  nmcoplbi  31957  nmbdfnlbi  31978  nmcfnexi  31980  nmcfnlbi  31981  cnlnadjlem7  32002  nmopcoi  32024  nmopcoadji  32030  branmfn  32034  strlem1  32179  sgnval2  32658  constrdircl  33755  iconstr  33756  constrinvcl  33763  constrresqrtcl  33767  constrabscl  33768  constrsqrtcl  33769  cos9thpinconstrlem1  33779  subfaclim  35175  dnizphlfeqhlf  36464  dnibndlem6  36471  dnibndlem9  36474  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  poimirlem29  37643  ftc1cnnclem  37685  ftc1anclem5  37691  lmclim2  37752  geomcau  37753  cntotbnd  37790  gcdnn0id  42317  readvrec  42350  irrapxlem2  42811  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  oddcomabszz  42933  jm2.19  42982  jm2.26lem3  42990  absmulrposd  44148  nzprmdif  44308  0ellimcdiv  45647  stoweidlem7  46005  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  etransclem23  46255  etransclem41  46273  hoiqssbllem2  46621  modlt0b  47364  blenre  48563  blennn  48564