Theorem absidd 15590

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  0cc0 11200   ≤ cle 11344  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  nn0absid  15597  rlimno1  15821  iseralt  15852  cvgcmpce  15985  divrcnv  16021  geomulcvg  16045  cvgrat  16052  mertenslem2  16054  eftabs  16241  efcllem  16243  efaddlem  16259  eftlub  16277  eflegeo  16289  ef01bndlem  16352  absef  16365  efieq1re  16367  dvdseq  16484  divalg2  16575  nn0gcdid0  16693  gcdnn0id  16700  absmulgcd  16722  nn0rppwr  16735  nn0expgcd  16738  lcmgcdlem  16781  mulgcddvds  16830  phibndlem  16947  dfphi2  16951  mul4sqlem  17131  4sqlem11  17133  prmirredlem  21778  prmirred  21780  blcvx  25117  reperflem  25138  reconnlem2  25147  nmoleub2lem3  25436  nmoleub3  25440  tcphcphlem1  25556  iscmet3lem3  25611  pjthlem1  25758  lhop1lem  26333  ftc1lem4  26359  plyeq0lem  26529  aalioulem4  26662  mtest  26731  radcnvlem1  26740  radcnvlt1  26745  radcnvle  26747  dvradcnv  26748  pserdvlem2  26755  abelth2  26769  tanabsge  26835  sineq0  26852  divlogrlim  26963  logcnlem3  26972  logcnlem4  26973  logtayllem  26987  logtayl  26988  abscxp2  27021  logbgcd1irr  27122  chordthmlem4  27163  rlimcnp  27293  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem5  27360  lgamcvg2  27382  ftalem5  27404  lgsval2lem  27634  lgsval4a  27646  2sqlem3  27747  chebbnd1  27799  chtppilimlem2  27801  chto1ub  27803  vmadivsum  27809  vmadivsumb  27810  rpvmasumlem  27814  dchrisumlem2  27817  dchrisumlem3  27818  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumiflem1  27828  dchrisum0fno1  27838  dchrisum0re  27840  rplogsum  27854  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  2vmadivsumlem  27867  selbergb  27876  selberg2lem  27877  selberg2b  27879  selberg3lem1  27884  selberg3lem2  27885  selberg4lem1  27887  pntrsumo1  27892  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1a  27912  pntpbnd1  27913  pntibndlem2  27918  ostth2  27964  htthlem  31519  bcsiALT  31781  norm1  31851  pjhthlem1  31993  nmbdoplbi  32626  nmcexi  32628  nmcopexi  32629  nmcoplbi  32630  nmbdfnlbi  32651  nmcfnexi  32653  nmcfnlbi  32654  cnlnadjlem7  32675  nmopcoi  32697  nmopcoadji  32703  branmfn  32707  strlem1  32852  sgnval2  33327  constrdircl  34397  iconstr  34398  constrinvcl  34405  constrresqrtcl  34409  constrabscl  34410  constrsqrtcl  34411  cos9thpinconstrlem1  34421  subfaclim  35953  dnizphlfeqhlf  37342  dnibndlem6  37349  dnibndlem9  37352  knoppndvlem11  37388  knoppndvlem14  37391  poimirlem29  38567  ftc1cnnclem  38609  ftc1anclem5  38615  lmclim2  38692  geomcau  38693  cntotbnd  38730  readvrec  43413  irrapxlem2  43829  irrapxlem5  43832  pellexlem2  43836  oddcomabszz  43950  jm2.19  43999  jm2.26lem3  44007  absmulrposd  45158  nzprmdif  45302  0ellimcdiv  46658  stoweidlem7  47016  fourierdlem30  47146  fourierdlem39  47155  etransclem23  47266  etransclem41  47284  hoiqssbllem2  47632  modlt0b  48438  blenre  49685  blennn  49686