Theorem absidd 14620

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 14494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  ℝcr 10389  0cc0 10390   ≤ cle 10529  abscabs 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433

This theorem is referenced by:  rlimno1  14848  iseralt  14879  cvgcmpce  15010  divrcnv  15044  geomulcvg  15069  cvgrat  15076  mertenslem2  15078  eftabs  15266  efcllem  15268  efaddlem  15283  eftlub  15299  eflegeo  15311  ef01bndlem  15374  absef  15387  efieq1re  15389  dvdseq  15501  divalg2  15593  nn0gcdid0  15706  absmulgcd  15730  gcdmultiple  15733  gcdmultiplez  15734  lcmgcdlem  15783  mulgcddvds  15832  phibndlem  15940  dfphi2  15944  mul4sqlem  16122  4sqlem11  16124  prmirredlem  20326  prmirred  20328  blcvx  23093  reperflem  23113  reconnlem2  23122  nmoleub2lem3  23406  nmoleub3  23410  tcphcphlem1  23525  iscmet3lem3  23580  pjthlem1  23727  lhop1lem  24297  ftc1lem4  24323  plyeq0lem  24487  aalioulem4  24611  mtest  24679  radcnvlem1  24688  radcnvlt1  24693  radcnvle  24695  dvradcnv  24696  pserdvlem2  24703  abelth2  24717  tanabsge  24779  sineq0  24796  divlogrlim  24903  logcnlem3  24912  logcnlem4  24913  logtayllem  24927  logtayl  24928  abscxp2  24961  logbgcd1irr  25057  chordthmlem4  25098  rlimcnp  25229  lgamgulmlem2  25293  lgamgulmlem5  25296  lgamcvg2  25318  ftalem5  25340  lgsval2lem  25569  lgsval4a  25581  2sqlem3  25682  chebbnd1  25734  chtppilimlem2  25736  chto1ub  25738  vmadivsum  25744  vmadivsumb  25745  rpvmasumlem  25749  dchrisumlem2  25752  dchrisumlem3  25753  dchrvmasumlem2  25760  dchrvmasumiflem1  25763  dchrisum0fno1  25773  dchrisum0re  25775  rplogsum  25789  mulog2sumlem1  25796  mulog2sumlem2  25797  2vmadivsumlem  25802  selbergb  25811  selberg2lem  25812  selberg2b  25814  selberg3lem1  25819  selberg3lem2  25820  selberg4lem1  25822  pntrsumo1  25827  pntrlog2bndlem1  25839  pntrlog2bndlem2  25840  pntrlog2bndlem3  25841  pntrlog2bndlem5  25843  pntrlog2bndlem6  25845  pntrlog2bnd  25846  pntpbnd1a  25847  pntpbnd1  25848  pntibndlem2  25853  ostth2  25899  htthlem  28381  bcsiALT  28643  norm1  28713  pjhthlem1  28855  nmbdoplbi  29488  nmcexi  29490  nmcopexi  29491  nmcoplbi  29492  nmbdfnlbi  29513  nmcfnexi  29515  nmcfnlbi  29516  cnlnadjlem7  29537  nmopcoi  29559  nmopcoadji  29565  branmfn  29569  strlem1  29714  subfaclim  32045  dnizphlfeqhlf  33426  dnibndlem6  33433  dnibndlem9  33436  knoppndvlem11  33472  knoppndvlem14  33475  poimirlem29  34473  ftc1cnnclem  34517  ftc1anclem5  34523  lmclim2  34586  geomcau  34587  cntotbnd  34627  nn0rppwr  38725  nn0expgcd  38727  irrapxlem2  38926  irrapxlem5  38929  pellexlem2  38933  oddcomabszz  39047  jm2.19  39096  jm2.26lem3  39104  absmulrposd  40015  nzprmdif  40210  0ellimcdiv  41493  stoweidlem7  41856  fourierdlem30  41986  fourierdlem39  41995  etransclem23  42106  etransclem41  42124  hoiqssbllem2  42469  blenre  44137  blennn  44138