Theorem absidd 15634

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
absidd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resqrcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		absid 15506	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  0cc0 11239   ≤ cle 11383  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  nn0absid  15641  rlimno1  15865  iseralt  15896  cvgcmpce  16029  divrcnv  16065  geomulcvg  16089  cvgrat  16096  mertenslem2  16098  eftabs  16285  efcllem  16287  efaddlem  16303  eftlub  16321  eflegeo  16333  ef01bndlem  16396  absef  16409  efieq1re  16411  dvdseq  16528  divalg2  16619  nn0gcdid0  16737  gcdnn0id  16744  absmulgcd  16766  nn0rppwr  16779  nn0expgcd  16782  lcmgcdlem  16825  mulgcddvds  16874  phibndlem  16991  dfphi2  16995  mul4sqlem  17175  4sqlem11  17177  prmirredlem  21833  prmirred  21835  blcvx  25172  reperflem  25193  reconnlem2  25202  nmoleub2lem3  25491  nmoleub3  25495  tcphcphlem1  25611  iscmet3lem3  25666  pjthlem1  25813  lhop1lem  26388  ftc1lem4  26414  plyeq0lem  26584  aalioulem4  26719  mtest  26788  radcnvlem1  26797  radcnvlt1  26802  radcnvle  26804  dvradcnv  26805  pserdvlem2  26812  abelth2  26826  tanabsge  26892  sineq0  26909  divlogrlim  27020  logcnlem3  27029  logcnlem4  27030  logtayllem  27044  logtayl  27045  abscxp2  27078  logbgcd1irr  27179  chordthmlem4  27220  rlimcnp  27350  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem5  27417  lgamcvg2  27439  ftalem5  27461  lgsval2lem  27691  lgsval4a  27703  2sqlem3  27804  chebbnd1  27856  chtppilimlem2  27858  chto1ub  27860  vmadivsum  27866  vmadivsumb  27867  rpvmasumlem  27871  dchrisumlem2  27874  dchrisumlem3  27875  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumiflem1  27885  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0re  27897  rplogsum  27911  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  2vmadivsumlem  27924  selbergb  27933  selberg2lem  27934  selberg2b  27936  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg4lem1  27944  pntrsumo1  27949  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntpbnd1a  27969  pntpbnd1  27970  pntibndlem2  27975  ostth2  28021  htthlem  31576  bcsiALT  31838  norm1  31908  pjhthlem1  32050  nmbdoplbi  32683  nmcexi  32685  nmcopexi  32686  nmcoplbi  32687  nmbdfnlbi  32708  nmcfnexi  32710  nmcfnlbi  32711  cnlnadjlem7  32732  nmopcoi  32754  nmopcoadji  32760  branmfn  32764  strlem1  32909  sgnval2  33423  zzedom  33958  constrdircl  34508  iconstr  34509  constrinvcl  34516  constrresqrtcl  34520  constrabscl  34521  constrsqrtcl  34522  cos9thpinconstrlem1  34532  subfaclim  36161  dnizphlfeqhlf  37557  dnibndlem6  37564  dnibndlem9  37567  knoppndvlem11  37603  knoppndvlem14  37606  poimirlem29  38835  ftc1cnnclem  38877  ftc1anclem5  38883  lmclim2  38958  geomcau  38959  cntotbnd  38996  readvrec  43679  irrapxlem2  44096  irrapxlem5  44099  pellexlem2  44103  oddcomabszz  44217  jm2.19  44266  jm2.26lem3  44274  absmulrposd  45420  nzprmdif  45564  0ellimcdiv  46932  stoweidlem7  47290  fourierdlem30  47420  fourierdlem39  47429  etransclem23  47540  etransclem41  47558  hoiqssbllem2  47906  modlt0b  48712  blenre  50017  blennn  50018