Theorem clwwnisshclwwsn 29988

Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkclwwlkn 29959	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
2		clwwlknlen 29961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
4	3	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝑊)))
5	4	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		clwwisshclwwsn 29945	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 6, 7	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 29963	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		elfzelz 13485	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		cshwlen 14764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
14	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
15	13, 14	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16		isclwwlkn 29956	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
17	8, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ♯chash 14295  Word cword 14478   cyclShift ccsh 14753  Vtxcvtx 28923  ClWWalkscclwwlk 29910   ClWWalksN cclwwlkn 29953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-csh 14754  df-clwwlk 29911  df-clwwlkn 29954

This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  29991