Theorem clwwnisshclwwsn 30419

Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkclwwlkn 30390	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
2		clwwlknlen 30392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
4	3	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝑊)))
5	4	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
6	5	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		clwwisshclwwsn 30376	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 6, 7	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 30394	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		elfzelz 13556	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		cshwlen 14841	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
13	10, 11, 12	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
14	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
15	13, 14	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16		isclwwlkn 30387	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
17	8, 15, 16	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ♯chash 14371  Word cword 14555   cyclShift ccsh 14830  Vtxcvtx 29355  ClWWalkscclwwlk 30341   ClWWalksN cclwwlkn 30384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-hash 14372  df-word 14556  df-lsw 14605  df-concat 14613  df-substr 14684  df-pfx 14714  df-csh 14831  df-clwwlk 30342  df-clwwlkn 30385

This theorem is used by:  clwwlknscsh  30422