Theorem clwwnisshclwwsn 29887

Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnisshclwwsn	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkclwwlkn 29858	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
2		clwwlknlen 29860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
4	3	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (0...𝑁) = (0...(♯‘𝑊)))
5	4	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
6	5	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		clwwisshclwwsn 29844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
8	1, 6, 7	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlknwrd 29862	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11		elfzelz 13539	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		cshwlen 14787	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
13	10, 11, 12	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
14	2	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
15	13, 14	eqtrd 2767	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16		isclwwlkn 29855	. 2 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
17	8, 15, 16	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  ℤcz 12594  ...cfz 13522  ♯chash 14327  Word cword 14502   cyclShift ccsh 14776  Vtxcvtx 28827  ClWWalkscclwwlk 29809   ClWWalksN cclwwlkn 29852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-hash 14328  df-word 14503  df-lsw 14551  df-concat 14559  df-substr 14629  df-pfx 14659  df-csh 14777  df-clwwlk 29810  df-clwwlkn 29853

This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  29890