MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwnisshclwwsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwnisshclwwsn 29908
Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwnisshclwwsn ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn
StepHypRef Expression
1 clwwlkclwwlkn 29879 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
2 clwwlknlen 29881 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
32eqcomd 2731 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
43oveq2d 7429 . . . . 5 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (0...𝑁) = (0...(β™―β€˜π‘Š)))
54eleq2d 2811 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
65biimpa 475 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
7 clwwisshclwwsn 29865 . . 3 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
81, 6, 7syl2an2r 683 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
9 eqid 2725 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
109clwwlknwrd 29883 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
11 elfzelz 13528 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 cshwlen 14776 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = (β™―β€˜π‘Š))
1310, 11, 12syl2an 594 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = (β™―β€˜π‘Š))
142adantr 479 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
1513, 14eqtrd 2765 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16 isclwwlkn 29876 . 2 ((π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
178, 15, 16sylanbrc 581 1 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  β„€cz 12583  ...cfz 13511  β™―chash 14316  Word cword 14491   cyclShift ccsh 14765  Vtxcvtx 28848  ClWWalkscclwwlk 29830   ClWWalksN cclwwlkn 29873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-csh 14766  df-clwwlk 29831  df-clwwlkn 29874
This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator