MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwnisshclwwsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwnisshclwwsn 29843
Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.) (Revised by AV, 29-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwnisshclwwsn ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnisshclwwsn
StepHypRef Expression
1 clwwlkclwwlkn 29814 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
2 clwwlknlen 29816 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
32eqcomd 2733 . . . . . 6 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
43oveq2d 7430 . . . . 5 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (0...𝑁) = (0...(β™―β€˜π‘Š)))
54eleq2d 2814 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
65biimpa 476 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
7 clwwisshclwwsn 29800 . . 3 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
81, 6, 7syl2an2r 684 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ))
9 eqid 2727 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
109clwwlknwrd 29818 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
11 elfzelz 13519 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 cshwlen 14767 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = (β™―β€˜π‘Š))
1310, 11, 12syl2an 595 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = (β™―β€˜π‘Š))
142adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)
1513, 14eqtrd 2767 . 2 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = 𝑁)
16 isclwwlkn 29811 . 2 ((π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(π‘Š cyclShift 𝑀)) = 𝑁))
178, 15, 16sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑀) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  β„€cz 12574  ...cfz 13502  β™―chash 14307  Word cword 14482   cyclShift ccsh 14756  Vtxcvtx 28783  ClWWalkscclwwlk 29765   ClWWalksN cclwwlkn 29808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-hash 14308  df-word 14483  df-lsw 14531  df-concat 14539  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-csh 14757  df-clwwlk 29766  df-clwwlkn 29809
This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  29846
  Copyright terms: Public domain W3C validator