MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrds3 14912
Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqwrds3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s3cl 14830 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2 eqwrd 14507 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
31, 2sylan2 594 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4 s3len 14845 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
54eqeq2i 2746 . . . 4 ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
65a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3))
76anbi1d 631 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8 oveq2 7417 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 13718 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtrdi 2789 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3326 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
13 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
1412, 13eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15 s3fv0 14842 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
1716eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
1814, 17sylan9bbr 512 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
20 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
2119, 20eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22 s3fv1 14843 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
23223ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
2423eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
2521, 24sylan9bbr 512 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘2))
27 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
2826, 27eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29 s3fv2 14844 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
30293ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3130eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
3228, 31sylan9bbr 512 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33 0zd 12570 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34 1zzd 12593 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35 2z 12594 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ∈ ℤ)
3718, 25, 32, 33, 34, 36raltpd 4786 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3837adantl 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3911, 38sylan9bbr 512 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
4039pm5.32da 580 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
413, 7, 403bitrd 305 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {ctp 4633  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  2c2 12267  3c3 12268  cz 12558  ..^cfzo 13627  chash 14290  Word cword 14464  ⟨“cs3 14793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800
This theorem is referenced by:  wrdl3s3  14913  s3sndisj  14914  s3iunsndisj  14915  elwwlks2ons3im  29208  umgrwwlks2on  29211  elwwlks2  29220  elwspths2spth  29221  cyc3evpm  32309
  Copyright terms: Public domain W3C validator