Theorem eqwrds3 15146

Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrds3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cl 15061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		eqwrd 14732	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
3	1, 2	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4		s3len 15077	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
5	4	eqeq2i 2776	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3))
7	6	anbi1d 643	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8		oveq2 7454	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
9		fzo0to3tp 13917	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0, 1, 2})
11	10	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
13		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
14	12, 13	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15		s3fv0 15074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
17	16	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
18	14, 17	sylan9bbr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘1))
20		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
21	19, 20	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22		s3fv1 15075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
23	22	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
24	23	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
25	21, 24	sylan9bbr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘2))
27		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
28	26, 27	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29		s3fv2 15076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
31	30	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
32	28, 31	sylan9bbr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33		0zd 12735	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34		1zzd 12757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35		2z 12758	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℤ)
37	18, 25, 32, 33, 34, 36	raltpd 4742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
38	37	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
39	11, 38	sylan9bbr 520	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
40	39	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
41	3, 7, 40	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {ctp 4592  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  2c2 12427  3c3 12428  ℤcz 12723  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688  ⟨“cs3 15024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031

This theorem is used by:  wrdl3s3  15147  s3sndisj  15152  s3iunsndisj  15153  elwwlks2ons3im  30576  usgrwwlks2on  30580  umgrwwlks2on  30581  elwwlks2  30591  elwspths2spth  30592  cyc3evpm  33787