Theorem eqwrds3 14916

Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrds3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cl 14834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		eqwrd 14511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4		s3len 14849	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
5	4	eqeq2i 2745	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3))
7	6	anbi1d 630	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
9		fzo0to3tp 13722	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0, 1, 2})
11	10	raleqdv 3325	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
13		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
14	12, 13	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15		s3fv0 14846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
17	16	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
18	14, 17	sylan9bbr 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘1))
20		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
21	19, 20	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22		s3fv1 14847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
24	23	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
25	21, 24	sylan9bbr 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘2))
27		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
28	26, 27	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29		s3fv2 14848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
31	30	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
32	28, 31	sylan9bbr 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33		0zd 12574	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34		1zzd 12597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35		2z 12598	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℤ)
37	18, 25, 32, 33, 34, 36	raltpd 4785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
38	37	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
39	11, 38	sylan9bbr 511	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
40	39	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
41	3, 7, 40	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {ctp 4632  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  3c3 12272  ℤcz 12562  ..^cfzo 13631  ♯chash 14294  Word cword 14468  ⟨“cs3 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804

This theorem is referenced by:  wrdl3s3  14917  s3sndisj  14918  s3iunsndisj  14919  elwwlks2ons3im  29463  umgrwwlks2on  29466  elwwlks2  29475  elwspths2spth  29476  cyc3evpm  32567