Theorem eqwrds3 14884

Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrds3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3cl 14802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		eqwrd 14480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4		s3len 14817	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
5	4	eqeq2i 2749	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3))
7	6	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
9		fzo0to3tp 13668	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0, 1, 2})
11	10	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
13		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
14	12, 13	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15		s3fv0 14814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
17	16	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
18	14, 17	sylan9bbr 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘1))
20		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
21	19, 20	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22		s3fv1 14815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
24	23	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
25	21, 24	sylan9bbr 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘2))
27		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
28	26, 27	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29		s3fv2 14816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
30	29	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
31	30	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
32	28, 31	sylan9bbr 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33		0zd 12500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34		1zzd 12522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 2 ∈ ℤ)
37	18, 25, 32, 33, 34, 36	raltpd 4738	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
39	11, 38	sylan9bbr 510	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
40	39	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
41	3, 7, 40	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {ctp 4584  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027  2c2 12200  3c3 12201  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  ⟨“cs3 14765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772

This theorem is referenced by:  wrdl3s3  14885  s3sndisj  14890  s3iunsndisj  14891  elwwlks2ons3im  30027  usgrwwlks2on  30031  umgrwwlks2on  30032  elwwlks2  30042  elwspths2spth  30043  cyc3evpm  33232