MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrds3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrds3 15000
Description: A word is equal with a length 3 string iff it has length 3 and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 12-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
eqwrds3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))

Proof of Theorem eqwrds3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s3cl 14918 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
2 eqwrd 14595 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
31, 2sylan2 593 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
4 s3len 14933 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
54eqeq2i 2750 . . . 4 ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3)
65a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ↔ (♯‘𝑊) = 3))
76anbi1d 631 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖))))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 13791 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtrdi 2793 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3326 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 3 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)))
12 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
13 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0))
1412, 13eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)))
15 s3fv0 14930 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
1716eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
1814, 17sylan9bbr 510 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘0) = 𝐴))
19 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
20 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1))
2119, 20eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1)))
22 s3fv1 14931 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
23223ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) = 𝐵)
2423eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘1) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘1) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
2521, 24sylan9bbr 510 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘1) = 𝐵))
26 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘2))
27 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 2 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2))
2826, 27eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑖 = 2 → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)))
29 s3fv2 14932 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
30293ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
3130eqeq2d 2748 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑊‘2) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
3228, 31sylan9bbr 510 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ (𝑊‘2) = 𝐶))
33 0zd 12625 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ∈ ℤ)
34 1zzd 12648 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 1 ∈ ℤ)
35 2z 12649 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ∈ ℤ)
3718, 25, 32, 33, 34, 36raltpd 4781 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3837adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∀𝑖 ∈ {0, 1, 2} (𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
3911, 38sylan9bbr 510 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶)))
4039pm5.32da 579 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
413, 7, 403bitrd 305 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝐴 ∧ (𝑊‘1) = 𝐵 ∧ (𝑊‘2) = 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {ctp 4630  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  3c3 12322  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs3 14881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888
This theorem is referenced by:  wrdl3s3  15001  s3sndisj  15006  s3iunsndisj  15007  elwwlks2ons3im  29974  umgrwwlks2on  29977  elwwlks2  29986  elwspths2spth  29987  cyc3evpm  33170
  Copyright terms: Public domain W3C validator