Theorem 2cshw 15004

Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem 2cshw

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwlen 14990	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
3		cshwcl 14989	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
4		cshwlen 14990	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
5	3, 4	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
6	5	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
7		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		zaddcl 12774	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
10		cshwlen 14990	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))))
13	6, 2	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
14	13	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
18		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = (0..^(♯‘𝑊)))
20	19	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
22		cshwidxmod 14994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
24		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		elfzo0 13873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
27		nn0z 12755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
29		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
31		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32	30, 31	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
34	33	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
35	26, 34	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
36	35	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
37		zmodfzo 14072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	1	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
40	39	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
43	38, 42	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
44		cshwidxmod 14994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
45	24, 25, 43, 44	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
46		nn0re 12653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		zre 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ)
51		zre 12735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
53		nnrp 13170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
55		modaddmod 14090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
57		nn0cn 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
59		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
61		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
62	61	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
63		add32r 11567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
65	64	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
66	56, 65	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
67	66	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
68	67	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
69	26, 68	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
70	69	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
71	70	3adantl1 1185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
72	71	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
73	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
74	73	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
75	74	oveq1d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) = (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀))
76	75	fvoveq1d 7471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
77	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
78		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
79		cshwidxmod 14994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
80	24, 77, 78, 79	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
81	72, 76, 80	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
82	23, 45, 81	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
83	82	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
84	15, 83	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
85	84	ralrimiv 3157	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
86		cshwcl 14989	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
87	3, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
88		cshwcl 14989	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉)
89		eqwrd 14741	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
90	87, 88, 89	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
91	90	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
92	12, 85, 91	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237   + caddc 11240   < clt 11380  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ℝ⁺crp 13158  ..^cfzo 13826   mod cmo 14047  ♯chash 14513  Word cword 14697   cyclShift ccsh 14979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-hash 14514  df-word 14698  df-concat 14755  df-substr 14829  df-pfx 14861  df-csh 14980

This theorem is used by:  2cshwid  15005  2cshwcom  15007  cshweqdif2  15010  2cshwcshw  15016  cshwcshid  15018  cshwcsh2id  15019  cshwshashlem2  17315