Theorem 2cshw 14840

Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem 2cshw

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwlen 14826	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
2	1	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
3		cshwcl 14825	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
4		cshwlen 14826	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
5	3, 4	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
6	5	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
7		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		zaddcl 12625	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
10		cshwlen 14826	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))))
13	6, 2	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
14	13	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	3	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
18		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = (0..^(♯‘𝑊)))
20	19	eleq2d 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
22		cshwidxmod 14830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
24		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25		simpl2 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		elfzo0 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
27		nn0z 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
29		simpr3 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
31		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32	30, 31	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
33	32	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
34	33	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
35	26, 34	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
36	35	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
37		zmodfzo 13918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	1	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
40	39	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
43	38, 42	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
44		cshwidxmod 14830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
45	24, 25, 43, 44	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
46		nn0re 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ)
51		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
53		nnrp 13019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
55		modaddmod 13936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
57		nn0cn 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
59		zcn 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
61		zcn 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
62	61	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
63		add32r 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
65	64	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
66	56, 65	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
67	66	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
68	67	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
69	26, 68	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
70	69	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
71	70	3adantl1 1183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
72	71	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
73	2	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
74	73	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
75	74	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) = (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀))
76	75	fvoveq1d 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
77	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
78		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
79		cshwidxmod 14830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
80	24, 77, 78, 79	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
81	72, 76, 80	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
82	23, 45, 81	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
83	82	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
84	15, 83	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
85	84	ralrimiv 3156	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
86		cshwcl 14825	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
87	3, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
88		cshwcl 14825	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉)
89		eqwrd 14584	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
90	87, 88, 89	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
91	90	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
92	12, 85, 91	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   < clt 11231  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  ..^cfzo 13673   mod cmo 13893  ♯chash 14357  Word cword 14540   cyclShift ccsh 14815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-csh 14816

This theorem is referenced by:  2cshwid  14841  2cshwcom  14843  cshweqdif2  14846  2cshwcshw  14852  cshwcshid  14854  cshwcsh2id  14855  cshwshashlem2  17146