Theorem 2cshw 14773

Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem 2cshw

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwlen 14759	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
2	1	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
3		cshwcl 14758	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
4		cshwlen 14759	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
5	3, 4	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
6	5	3adant2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
7		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		zaddcl 12565	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
10		cshwlen 14759	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))))
13	6, 2	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
14	13	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	3	3ad2ant1 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
18		simpl3 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = (0..^(♯‘𝑊)))
20	19	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
22		cshwidxmod 14763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
24		simpl1 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25		simpl2 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		elfzo0 13653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
27		nn0z 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
29		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
31		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32	30, 31	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
33	32	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
34	33	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
35	26, 34	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
36	35	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
37		zmodfzo 13851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	1	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
40	39	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	3adant3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
43	38, 42	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
44		cshwidxmod 14763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
45	24, 25, 43, 44	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
46		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ)
51		zre 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
53		nnrp 12952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
55		modaddmod 13869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
57		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
59		zcn 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
61		zcn 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
62	61	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
63		add32r 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
65	64	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
66	56, 65	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
67	66	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
68	67	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
69	26, 68	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
70	69	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
71	70	3adantl1 1173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
72	71	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
73	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
74	73	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
75	74	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) = (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀))
76	75	fvoveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
77	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
78		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
79		cshwidxmod 14763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
80	24, 77, 78, 79	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
81	72, 76, 80	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
82	23, 45, 81	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
83	82	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
84	15, 83	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
85	84	ralrimiv 3131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
86		cshwcl 14758	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
87	3, 86	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
88		cshwcl 14758	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉)
89		eqwrd 14517	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
90	87, 88, 89	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
91	90	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
92	12, 85, 91	mpbir2and 719	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   < clt 11177  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826  ♯chash 14290  Word cword 14473   cyclShift ccsh 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-csh 14749

This theorem is referenced by:  2cshwid  14774  2cshwcom  14776  cshweqdif2  14779  2cshwcshw  14785  cshwcshid  14787  cshwcsh2id  14788  cshwshashlem2  17065