Theorem 2cshw 14766

Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem 2cshw

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwlen 14752	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
2	1	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
3		cshwcl 14751	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
4		cshwlen 14752	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
5	3, 4	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
6	5	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
7		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		zaddcl 12558	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
10		cshwlen 14752	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (♯‘𝑊))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))))
13	6, 2	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘𝑊))
14	13	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
16	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
18		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = (0..^(♯‘𝑊)))
20	19	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
22		cshwidxmod 14756	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
24		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
25		simpl2 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
26		elfzo0 13646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)))
27		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
28	27	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
29		simpr3 1198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
31		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
32	30, 31	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
34	33	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
35	26, 34	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
36	35	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
37		zmodfzo 13844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	1	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
40	39	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
43	38, 42	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
44		cshwidxmod 14756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
45	24, 25, 43, 44	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
46		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
49	48	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ)
51		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52	51	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
53		nnrp 12945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
54	53	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
55		modaddmod 13862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
56	50, 52, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
57		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
59		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
60	59	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
61		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
62	61	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
63		add32r 11357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
65	64	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)))
66	56, 65	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
68	67	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
69	26, 68	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
70	69	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
71	70	3adantl1 1168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊)))
72	71	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
73	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (♯‘𝑊))
74	73	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
75	74	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) = (((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀))
76	75	fvoveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))))
77	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
78		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
79		cshwidxmod 14756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
80	24, 77, 78, 79	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (♯‘𝑊))))
81	72, 76, 80	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (♯‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
82	23, 45, 81	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
83	82	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
84	15, 83	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
85	84	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
86		cshwcl 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
87	3, 86	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
88		cshwcl 14751	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉)
89		eqwrd 14510	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
90	87, 88, 89	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
91	90	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (♯‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
92	12, 85, 91	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   < clt 11170  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  ♯chash 14283  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742

This theorem is referenced by:  2cshwid  14767  2cshwcom  14769  cshweqdif2  14772  2cshwcshw  14778  cshwcshid  14780  cshwcsh2id  14781  cshwshashlem2  17058