Theorem ex-exp 30479

Description: Example for df-exp 14100. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12330	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14255	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12410	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14235	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12389	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12815	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11451	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12792	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12762	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2763	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12345	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11575	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14107	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14153	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14234	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2763	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  9c9 12326  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30483