Theorem ex-exp 30710

Description: Example for df-exp 14089. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12297	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12317	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14246	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12512	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12377	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14226	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12822	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11206	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7412	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12511	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12355	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12791	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12768	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12738	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2788	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12313	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11514	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14096	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14142	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14225	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2788	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 475	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  -cneg 11430   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  6c6 12290  8c8 12292  9c9 12293  ℕ₀cn0 12495  ;cdc 12702  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30714