Theorem ex-exp 31033

Description: Example for df-exp 14185. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12389	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12409	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14343	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12604	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12606	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12469	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14322	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12915	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		2t4e8 12493	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
16	14, 15	oveq12i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 12603	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 12608	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 12610	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 12447	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
22		6cn 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
23		8p6e14 12884	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
24	10, 22, 23	addcomli 11483	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
25	17, 18, 19, 20, 21, 7, 24	decaddci 12861	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
26	16, 25	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
27	6, 7, 8, 26	decsuc 12831	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
28	5, 27	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
29	2, 28	eqtri 2784	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
30		3cn 12405	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	negcli 11607	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
32		expneg 14192	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
33	31, 6, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
34		sqneg 14238	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
35	30, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
36		sq3 14321	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
37	35, 36	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
38	37	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
39	33, 38	eqtri 2784	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
40	29, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  5c5 12381  6c6 12382  8c8 12384  9c9 12385  ℕ₀cn0 12587  ;cdc 12795  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  ex-sqrt  31037