Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 28279
 Description: Example for df-exp 13446. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 11709 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7155 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 11728 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 13596 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 11920 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 11922 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 11789 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 13578 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 11740 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 11718 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 12221 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 10657 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2821 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 11811 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 10657 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 7157 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 11919 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 11924 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 11926 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2798 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 11768 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 11734 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 12190 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 10839 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 12167 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2821 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 12137 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2821 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2821 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 11724 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 10961 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 expneg 13453 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3432, 6, 33mp2an 691 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35 sqneg 13498 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
37 sq3 13577 . . . . 5 (3↑2) = 9
3836, 37eqtri 2821 . . . 4 (-3↑2) = 9
3938oveq2i 7156 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4034, 39eqtri 2821 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4130, 40pm3.2i 474 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  -cneg 10878   / cdiv 11304  2c2 11698  3c3 11699  4c4 11700  5c5 11701  6c6 11702  8c8 11704  9c9 11705  ℕ0cn0 11903  ;cdc 12106  ↑cexp 13445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-seq 13385  df-exp 13446 This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28283
 Copyright terms: Public domain W3C validator