MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 28156
Description: Example for df-exp 13418. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 11691 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7155 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 11710 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 13568 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 11902 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 11904 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 11771 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 13550 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 11722 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 12201 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 10638 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2841 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 11793 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 7157 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 11901 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 11906 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 11908 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2818 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 11750 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 11716 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 12170 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 10820 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 12147 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2841 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 12117 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2841 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2841 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 11706 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 10942 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 expneg 13425 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3432, 6, 33mp2an 688 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35 sqneg 13470 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
37 sq3 13549 . . . . 5 (3↑2) = 9
3836, 37eqtri 2841 . . . 4 (-3↑2) = 9
3938oveq2i 7156 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4034, 39eqtri 2841 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4130, 40pm3.2i 471 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28160
  Copyright terms: Public domain W3C validator