Theorem ex-exp 30469

Description: Example for df-exp 14103. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12332	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12351	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14258	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12412	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14238	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12848	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12434	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11270	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12391	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12794	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12764	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2765	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12347	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11577	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14110	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14156	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14237	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2765	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30473