Theorem ex-exp 28814

Description: Example for df-exp 13783. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12039	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12058	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13934	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12252	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12119	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 13916	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12141	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 10984	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7287	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12256	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12098	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12064	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12521	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11167	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12498	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12468	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2766	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12054	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11289	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13790	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 689	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13836	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 13915	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  8c8 12034  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28818