Theorem ex-exp 30482

Description: Example for df-exp 14113. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12359	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12378	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14268	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12572	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12439	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14248	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12873	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12461	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11299	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7460	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12574	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12576	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12418	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12384	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12842	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12819	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12789	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2768	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12374	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11604	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14120	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 691	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14166	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14247	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30486