Theorem ex-exp 30537

Description: Example for df-exp 13997. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12223	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7378	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12242	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14154	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12432	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12298	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14134	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11153	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12436	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12277	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12703	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11337	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12680	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12650	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2760	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12238	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11461	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14004	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 693	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14050	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14133	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  8c8 12218  9c9 12219  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30541