Theorem ex-exp 30779

Description: Example for df-exp 14100. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12307	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12327	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14257	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12387	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12832	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11219	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12365	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12801	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11403	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12778	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12748	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2786	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12323	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11527	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14107	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14153	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14236	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 475	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  -cneg 11443   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  9c9 12303  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30783