Theorem ex-exp 30386

Description: Example for df-exp 14034. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12259	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12278	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14191	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12468	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12334	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14171	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12771	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7402	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12470	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12472	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12717	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12687	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2753	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12274	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11497	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14041	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14087	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14170	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2753	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  8c8 12254  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30390