MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 27700
Description: Example for df-exp 13067. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 11337 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 6851 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 11357 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 13186 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 11556 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 11558 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 11423 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 13168 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 11373 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 11346 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 11855 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 10302 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2786 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 11445 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 10302 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 6853 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 11555 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 11560 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 11562 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2764 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 11403 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 11365 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 11824 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 10481 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 11801 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2786 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 11771 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2786 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2786 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 11352 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 10602 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 expneg 13074 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3432, 6, 33mp2an 683 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35 sqneg 13129 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
37 sq3 13167 . . . . 5 (3↑2) = 9
3836, 37eqtri 2786 . . . 4 (-3↑2) = 9
3938oveq2i 6852 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4034, 39eqtri 2786 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4130, 40pm3.2i 462 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6841  cc 10186  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  -cneg 10520   / cdiv 10937  2c2 11326  3c3 11327  4c4 11328  5c5 11329  6c6 11330  8c8 11332  9c9 11333  0cn0 11537  cdc 11739  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  ex-sqrt  27704
  Copyright terms: Public domain W3C validator