MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 29436
Description: Example for df-exp 13975. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 12226 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7372 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 12245 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 14129 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 12439 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 12306 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 14110 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 12257 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 12740 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2765 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 12328 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 7374 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 12441 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 12443 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 12285 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 12251 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 12709 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 11354 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 12686 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2765 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 12656 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2765 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2765 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 12241 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 11476 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 expneg 13982 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3432, 6, 33mp2an 691 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35 sqneg 14028 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
37 sq3 14109 . . . . 5 (3↑2) = 9
3836, 37eqtri 2765 . . . 4 (-3↑2) = 9
3938oveq2i 7373 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4034, 39eqtri 2765 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4130, 40pm3.2i 472 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cdc 12625  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  ex-sqrt  29440
  Copyright terms: Public domain W3C validator