Theorem ex-exp 30436

Description: Example for df-exp 14085. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12311	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12330	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14242	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12391	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14222	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12828	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11249	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12527	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12529	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12370	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12797	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11432	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12774	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12744	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2759	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12326	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11556	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14092	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14138	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14221	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  -cneg 11472   / cdiv 11899  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  8c8 12306  9c9 12307  ℕ₀cn0 12506  ;cdc 12713  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30440