Theorem ex-exp 27917

Description: Example for df-exp 13284. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11557	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7033	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11576	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13434	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 11768	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 11770	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 11637	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 13416	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12067	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 10503	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 11659	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 10503	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7035	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 11767	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 11772	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 11774	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 11616	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 11582	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12036	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 10685	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12013	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 11983	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2821	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2821	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 11572	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 10808	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13291	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 688	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13336	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 13415	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7034	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2821	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  -cneg 10724   / cdiv 11151  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  5c5 11549  6c6 11550  8c8 11552  9c9 11553  ℕ₀cn0 11751  ;cdc 11952  ↑cexp 13283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-seq 13224  df-exp 13284

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  27921