Theorem ex-exp 30425

Description: Example for df-exp 13966. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12188	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12207	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14123	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12395	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12397	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12263	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14103	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11118	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7358	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12394	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12399	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12401	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12242	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12213	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12669	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11302	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12646	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12616	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2754	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12203	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11426	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13973	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14019	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14102	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  -cneg 11342   / cdiv 11771  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  5c5 12180  6c6 12181  8c8 12183  9c9 12184  ℕ₀cn0 12378  ;cdc 12585  ↑cexp 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-seq 13906  df-exp 13966

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30429