Theorem ex-exp 31084

Description: Example for df-exp 14235. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12438	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7456	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12458	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14393	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12653	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12655	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12518	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14372	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12964	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		2t4e8 12542	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
16	14, 15	oveq12i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 12652	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 12657	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 12659	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 12496	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
22		6cn 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
23		8p6e14 12933	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
24	10, 22, 23	addcomli 11532	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
25	17, 18, 19, 20, 21, 7, 24	decaddci 12910	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
26	16, 25	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
27	6, 7, 8, 26	decsuc 12880	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
28	5, 27	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
29	2, 28	eqtri 2786	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
30		3cn 12454	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	negcli 11656	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
32		expneg 14242	. . . 4 ⊢ (( -3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2)))
33	31, 6, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2))
34		sqneg 14288	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → ( -3↑2) = (3↑2))
35	30, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( -3↑2) = (3↑2)
36		sq3 14371	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
37	35, 36	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ( -3↑2) = 9
38	37	oveq2i 7457	. . 3 ⊢ (1 / ( -3↑2)) = (1 / 9)
39	33, 38	eqtri 2786	. 2 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / 9)
40	29, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   -cneg 11572   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  5c5 12430  6c6 12431  8c8 12433  9c9 12434  ℕ₀cn0 12636  ;cdc 12844  ↑cexp 14234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  ex-sqrt  31088