Theorem ex-exp 30412

Description: Example for df-exp 13987. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12212	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7363	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12231	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14144	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12287	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14124	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11143	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12423	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12425	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12266	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12693	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12670	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12640	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2752	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12227	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11450	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13994	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14040	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14123	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  8c8 12207  9c9 12208  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30416