Theorem ex-exp 30379

Description: Example for df-exp 14027. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12252	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12271	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14184	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12461	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12327	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14164	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12764	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12349	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11183	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7399	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12463	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12306	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12733	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11366	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12710	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12680	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2752	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12267	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11490	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14034	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14080	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14163	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  9c9 12248  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30383