Theorem ex-exp 31057

Description: Example for df-exp 14209. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12412	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12432	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14367	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12492	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14346	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		2t4e8 12516	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
16	14, 15	oveq12i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 12631	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 12633	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 12470	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
22		6cn 12438	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
23		8p6e14 12907	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
24	10, 22, 23	addcomli 11506	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
25	17, 18, 19, 20, 21, 7, 24	decaddci 12884	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
26	16, 25	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
27	6, 7, 8, 26	decsuc 12854	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
28	5, 27	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
29	2, 28	eqtri 2783	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
30		3cn 12428	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	negcli 11630	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
32		expneg 14216	. . . 4 ⊢ (( -3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2)))
33	31, 6, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / ( -3↑2))
34		sqneg 14262	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → ( -3↑2) = (3↑2))
35	30, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( -3↑2) = (3↑2)
36		sq3 14345	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
37	35, 36	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( -3↑2) = 9
38	37	oveq2i 7432	. . 3 ⊢ (1 / ( -3↑2)) = (1 / 9)
39	33, 38	eqtri 2783	. 2 ⊢ ( -3↑ -2) = (1 / 9)
40	29, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ ( -3↑ -2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   -cneg 11546   / cdiv 11977  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  8c8 12407  9c9 12408  ℕ₀cn0 12610  ;cdc 12818  ↑cexp 14208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209

This theorem is used by:  ex-sqrt  31061