MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-exp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-exp 28533
Description: Example for df-exp 13636. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-exp ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp
StepHypRef Expression
1 df-5 11896 . . . 4 5 = (4 + 1)
21oveq1i 7223 . . 3 (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3 4cn 11915 . . . . 5 4 ∈ ℂ
4 binom21 13786 . . . . 5 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6 2nn0 12107 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
7 4nn0 12109 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
8 4p1e5 11976 . . . . 5 (4 + 1) = 5
9 sq4e2t8 13768 . . . . . . . 8 (4↑2) = (2 · 8)
10 8cn 11927 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
11 2cn 11905 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
12 8t2e16 12408 . . . . . . . . 9 (8 · 2) = 16
1310, 11, 12mulcomli 10842 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
149, 13eqtri 2765 . . . . . . 7 (4↑2) = 16
15 4t2e8 11998 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
163, 11, 15mulcomli 10842 . . . . . . 7 (2 · 4) = 8
1714, 16oveq12i 7225 . . . . . 6 ((4↑2) + (2 · 4)) = (16 + 8)
18 1nn0 12106 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 6nn0 12111 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
20 8nn0 12113 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . . . . 7 16 = 16
22 1p1e2 11955 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
23 6cn 11921 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
24 8p6e14 12377 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
2510, 23, 24addcomli 11024 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
2618, 19, 20, 21, 22, 7, 25decaddci 12354 . . . . . 6 (16 + 8) = 24
2717, 26eqtri 2765 . . . . 5 ((4↑2) + (2 · 4)) = 24
286, 7, 8, 27decsuc 12324 . . . 4 (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = 25
295, 28eqtri 2765 . . 3 ((4 + 1)↑2) = 25
302, 29eqtri 2765 . 2 (5↑2) = 25
31 3cn 11911 . . . . 5 3 ∈ ℂ
3231negcli 11146 . . . 4 -3 ∈ ℂ
33 expneg 13643 . . . 4 ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
3432, 6, 33mp2an 692 . . 3 (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35 sqneg 13688 . . . . . 6 (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5 (-3↑2) = (3↑2)
37 sq3 13767 . . . . 5 (3↑2) = 9
3836, 37eqtri 2765 . . . 4 (-3↑2) = 9
3938oveq2i 7224 . . 3 (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
4034, 39eqtri 2765 . 2 (-3↑-2) = (1 / 9)
4130, 40pm3.2i 474 1 ((5↑2) = 25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  8c8 11891  9c9 11892  0cn0 12090  cdc 12293  cexp 13635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636
This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28537
  Copyright terms: Public domain W3C validator