Theorem ex-exp 30432

Description: Example for df-exp 13971. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12198	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7362	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12217	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14128	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12405	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12273	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14108	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12295	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11128	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7364	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12404	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12409	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12411	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12252	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12223	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12678	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11312	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12655	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12625	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2756	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12213	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11436	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13978	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14024	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14107	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7363	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  -cneg 11352   / cdiv 11781  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  6c6 12191  8c8 12193  9c9 12194  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30436