Theorem ex-exp 30938

Description: Example for df-exp 14130. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12334	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7427	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12354	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14287	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12414	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14267	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12366	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		2t4e8 12438	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
16	14, 15	oveq12i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 12553	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 12555	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 12392	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
22		6cn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
23		8p6e14 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
24	10, 22, 23	addcomli 11430	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
25	17, 18, 19, 20, 21, 7, 24	decaddci 12806	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
26	16, 25	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
27	6, 7, 8, 26	decsuc 12776	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
28	5, 27	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
29	2, 28	eqtri 2785	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
30		3cn 12350	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	negcli 11554	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
32		expneg 14137	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
33	31, 6, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
34		sqneg 14183	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
35	30, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
36		sq3 14266	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
37	35, 36	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
38	37	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
39	33, 38	eqtri 2785	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
40	29, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  -cneg 11470   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  8c8 12329  9c9 12330  ℕ₀cn0 12532  ;cdc 12740  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  ex-sqrt  30942