Theorem ex-exp 28533

Description: Example for df-exp 13636. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11896	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7223	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11915	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13786	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12107	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12109	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 11976	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 13768	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 11998	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 10842	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7225	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12106	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12111	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12113	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 11955	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 11921	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11024	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12354	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12324	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2765	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 11911	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11146	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13643	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13688	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 13767	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7224	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2765	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 474	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  8c8 11891  9c9 11892  ℕ₀cn0 12090  ;cdc 12293  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28537