Theorem ex-exp 30535

Description: Example for df-exp 14015. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12238	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12257	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14172	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12313	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14152	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11145	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12292	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12696	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12666	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2760	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11453	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14022	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 693	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14068	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14151	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30539