Theorem ex-exp 29102

Description: Example for df-exp 13884. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12140	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7347	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12159	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14035	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12351	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12353	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12220	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14017	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12171	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12149	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11085	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11085	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7349	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12350	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12357	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12199	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12165	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11268	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12599	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12569	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2764	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12155	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11390	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13891	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 689	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13937	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14016	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7348	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2764	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  -cneg 11307   / cdiv 11733  2c2 12129  3c3 12130  4c4 12131  5c5 12132  6c6 12133  8c8 12135  9c9 12136  ℕ₀cn0 12334  ;cdc 12538  ↑cexp 13883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  29106