Theorem ex-exp 30545

Description: Example for df-exp 14022. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12245	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7373	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12264	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14179	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12320	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14159	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7375	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12456	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12299	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12270	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12726	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11336	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12703	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12673	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2763	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12260	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11460	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14029	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 698	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14075	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14158	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7374	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2763	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 471	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  8c8 12240  9c9 12241  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30549