Theorem ex-exp 28715

Description: Example for df-exp 13711. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11969	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11988	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13862	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12182	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12049	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 13844	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12481	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 10915	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 10915	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7267	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12184	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12186	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12028	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 11994	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12450	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11097	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12427	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12397	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2766	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 11984	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11219	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13718	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 688	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 13764	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 13843	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  8c8 11964  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  28719