Theorem ex-exp 30838

Description: Example for df-exp 14118. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12324	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12344	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14275	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12404	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14255	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		2t4e8 12428	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
16	14, 15	oveq12i 7435	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
17		1nn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		6nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
19		8nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
21		1p1e2 12382	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
22		6cn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
23		8p6e14 12818	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
24	10, 22, 23	addcomli 11420	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
25	17, 18, 19, 20, 21, 7, 24	decaddci 12795	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
26	16, 25	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
27	6, 7, 8, 26	decsuc 12765	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
28	5, 27	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
29	2, 28	eqtri 2789	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
30		3cn 12340	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	negcli 11544	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
32		expneg 14125	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
33	31, 6, 32	mp2an 705	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
34		sqneg 14171	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
35	30, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
36		sq3 14254	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
37	35, 36	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
38	37	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
39	33, 38	eqtri 2789	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
40	29, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  8c8 12319  9c9 12320  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  ex-sqrt  30842