Theorem ex-exp 29734

Description: Example for df-exp 14028. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12278	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12297	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14182	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12358	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12792	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11223	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12337	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11406	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12738	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12708	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2761	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11528	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14035	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 691	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14081	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14162	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2761	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 472	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  29738