Theorem ex-exp 30598

Description: Example for df-exp 14072. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12280	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7402	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14229	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12497	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12360	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14209	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11188	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11188	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7404	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12499	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12501	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12338	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12774	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11372	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12751	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12721	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2784	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12296	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11496	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 14079	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 702	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14125	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14208	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7403	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 474	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  -cneg 11412   / cdiv 11841  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  8c8 12275  9c9 12276  ℕ₀cn0 12478  ;cdc 12685  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30602