Theorem ex-exp 30525

Description: Example for df-exp 13985. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-exp	⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Proof of Theorem ex-exp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12211	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 14142	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		4nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		4p1e5 12286	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
9		sq4e2t8 14122	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
10		8cn 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
11		2cn 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		8t2e16 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 · 2) = ;16
13	10, 11, 12	mulcomli 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
14	9, 13	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (4↑2) = ;16
15		4t2e8 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 2) = 8
16	3, 11, 15	mulcomli 11141	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) = 8
17	14, 16	oveq12i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (;16 + 8)
18		1nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		6nn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		8nn0 12424	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
22		1p1e2 12265	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
23		6cn 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
24		8p6e14 12691	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
25	10, 23, 24	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
26	18, 19, 20, 21, 22, 7, 25	decaddci 12668	. . . . . 6 ⊢ (;16 + 8) = ;24
27	17, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ;24
28	6, 7, 8, 27	decsuc 12638	. . . 4 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ;25
29	5, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((4 + 1)↑2) = ;25
30	2, 29	eqtri 2759	. 2 ⊢ (5↑2) = ;25
31		3cn 12226	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31	negcli 11449	. . . 4 ⊢ -3 ∈ ℂ
33		expneg 13992	. . . 4 ⊢ ((-3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (-3↑-2) = (1 / (-3↑2)))
34	32, 6, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ (-3↑-2) = (1 / (-3↑2))
35		sqneg 14038	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ → (-3↑2) = (3↑2))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-3↑2) = (3↑2)
37		sq3 14121	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
38	36, 37	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (-3↑2) = 9
39	38	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (1 / (-3↑2)) = (1 / 9)
40	34, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ (-3↑-2) = (1 / 9)
41	30, 40	pm3.2i 470	1 ⊢ ((5↑2) = ;25 ∧ (-3↑-2) = (1 / 9))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  8c8 12206  9c9 12207  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  ex-sqrt  30529