Theorem expnlbnd2 14194

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnlbnd 14193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴)
2		simpl2 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl3 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 < 𝐵)
4		1re 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		ltle 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
6	4, 2, 5	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
7	3, 6	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
9		leexp2a 14132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
11		0red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 1)
15	11, 12, 2, 14, 3	lttrd 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 𝐵)
16	2, 15	elrpd 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17		nnz 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
21		eluzelz 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 14040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
24	16, 22, 23	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
25	20, 24	lerecd 13003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗))))
26	10, 25	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)))
27	24	rprecred 12995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
28	20	rprecred 12995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ)
29		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		lelttr 11234	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
32	27, 28, 30, 31	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
33	26, 32	mpand 701	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
34	33	anassrs 468	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
35	34	ralrimdva 3140	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
36	35	reximdva 3153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
37	1, 36	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177   ≤ cle 11178   / cdiv 11805  ℕcn 12172  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by: (None)