Theorem expnlbnd2 14202

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expnlbnd 14201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴)
2		simpl2 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpl3 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 < 𝐵)
4		1re 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		ltle 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
6	4, 2, 5	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 < 𝐵 → 1 ≤ 𝐵))
7	3, 6	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ≤ 𝐵)
8		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
9		leexp2a 14142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
10	2, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘))
11		0red 11221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
12		1red 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 11740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 1)
15	11, 12, 2, 14, 3	lttrd 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 0 < 𝐵)
16	2, 15	elrpd 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
17		nnz 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
19		rpexpcl 14051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
20	16, 18, 19	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
21		eluzelz 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	ad2antll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 14051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
24	16, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
25	20, 24	lerecd 13041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) ≤ (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗))))
26	10, 25	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)))
27	24	rprecred 13033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
28	20	rprecred 13033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ)
29		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		lelttr 11308	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
32	27, 28, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((1 / (𝐵↑𝑘)) ≤ (1 / (𝐵↑𝑗)) ∧ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴) → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
33	26, 32	mpand 692	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
34	33	anassrs 467	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
35	34	ralrimdva 3148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
36	35	reximdva 3162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑗)) < 𝐴 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
37	1, 36	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ℝ⁺crp 12980  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by: (None)