Theorem ehlbase 25644

Description: The base of the Euclidean space is the set of n-tuples of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehlval.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ehlbase	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Proof of Theorem ehlbase

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3444	. . . 4 ⊢ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))𝑓 finSupp 0)
2		elmapi 8849	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓:(1...𝑁)⟶ℝ)
3		fzfid 14038	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0red 11236	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 9346	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓 finSupp 0)
6	1, 5	mprgbir 3083	. . 3 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
7		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
10	8, 9	rrxbase 25617	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0})
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
12	6, 11	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
13		ehlval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
14	13	ehlval 25643	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
15	14	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
16	12, 15	eqtr4id 2814	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827   finSupp cfsupp 9332  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562  Basecbs 17302  ℝ^crrx 25612  𝔼_hilcehl 25613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-field 20894  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-cnfld 21587  df-refld 21819  df-dsmm 21946  df-frlm 21961  df-tng 24811  df-tcph 25398  df-rrx 25614  df-ehl 25615

This theorem is used by:  ehl0base  25645  k0004ss3  44994