Theorem ehlbase 24901

Description: The base of the Euclidean space is the set of n-tuples of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ehlval.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ehlbase	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Proof of Theorem ehlbase

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3465	. . . 4 ⊢ ((ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))𝑓 finSupp 0)
2		elmapi 8831	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓:(1...𝑁)⟶ℝ)
3		fzfid 13925	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0red 11204	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 9361	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓 finSupp 0)
6	1, 5	mprgbir 3069	. . 3 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
7		ovex 7429	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
10	8, 9	rrxbase 24874	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0})
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
12	6, 11	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
13		ehlval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
14	13	ehlval 24900	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
15	14	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
16	12, 15	eqtr4id 2792	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5144  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808   finSupp cfsupp 9349  ℝcr 11096  0cc0 11097  1c1 11098  ℕ₀cn0 12459  ...cfz 13471  Basecbs 17131  ℝ^crrx 24869  𝔼_hilcehl 24870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-sup 9424  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-0g 17374  df-prds 17380  df-pws 17382  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-subg 18988  df-cmn 19634  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-dvr 20193  df-drng 20295  df-field 20296  df-subrg 20338  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-cnfld 20919  df-refld 21131  df-dsmm 21260  df-frlm 21275  df-tng 24062  df-tcph 24655  df-rrx 24871  df-ehl 24872

This theorem is referenced by:  ehl0base  24902  k0004ss3  42775