Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehlbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehlbase 24023
 Description: The base of the Euclidean space is the set of n-tuples of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ehlval.e 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
Assertion
Ref Expression
ehlbase (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))

Proof of Theorem ehlbase
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid2 3337 . . . 4 ((ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁))𝑓 finSupp 0)
2 elmapi 8415 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓:(1...𝑁)⟶ℝ)
3 fzfid 13340 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
4 0red 10637 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
52, 3, 4fdmfifsupp 8831 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → 𝑓 finSupp 0)
61, 5mprgbir 3124 . . 3 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
7 ovex 7172 . . . 4 (1...𝑁) ∈ V
8 eqid 2801 . . . . 5 (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘(1...𝑁))
9 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
108, 9rrxbase 23996 . . . 4 ((1...𝑁) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0})
117, 10ax-mp 5 . . 3 (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝑓 finSupp 0}
126, 11eqtr4i 2827 . 2 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁)))
13 ehlval.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
1413ehlval 24022 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
1514fveq2d 6653 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝐸) = (Base‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
1612, 15eqtr4id 2855 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑m (1...𝑁)) = (Base‘𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  Basecbs 16479  ℝ^crrx 23991  𝔼hilcehl 23992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-cmn 18904  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-field 19502  df-subrg 19530  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-cnfld 20096  df-refld 20298  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-tng 23195  df-tcph 23778  df-rrx 23993  df-ehl 23994 This theorem is referenced by:  ehl0base  24024  k0004ss3  40849
 Copyright terms: Public domain W3C validator