Theorem tsmslem1 24153

Description: The finite partial sums of a function 𝐹 are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmslem1.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
tsmslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
tsmslem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tsmslem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem tsmslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmslem1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		tsmslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
5		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
6		tsmslem1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8		tsmslem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
9	5, 8	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elfpw 9392	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin))
11	10	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13	7, 12	fssresd 6776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑋):𝑋⟶𝐵)
14	9	elin2d 4215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Fin)
15		fvexd 6922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
16	13, 14, 15	fdmfifsupp 9413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
17	1, 2, 4, 5, 13, 16	gsumcl 19948	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  CMndccmn 19813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cntz 19348  df-cmn 19815

This theorem is referenced by:  eltsms  24157  haustsms  24160  tsmscls  24162  tsmsmhm  24170  tsmsadd  24171