Theorem tsmslem1 24032

Description: The finite partial sums of a function 𝐹 are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmslem1.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
tsmslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
tsmslem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tsmslem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem tsmslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmslem1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		tsmslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
5		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
6		tsmslem1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8		tsmslem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
9	5, 8	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10		elfpw 9263	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin))
11	10	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13	7, 12	fssresd 6695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑋):𝑋⟶𝐵)
14	9	elin2d 4158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Fin)
15		fvexd 6841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ V)
16	13, 14, 15	fdmfifsupp 9284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
17	1, 2, 4, 5, 13, 16	gsumcl 19812	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  CMndccmn 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cntz 19214  df-cmn 19679

This theorem is referenced by:  eltsms  24036  haustsms  24039  tsmscls  24041  tsmsmhm  24049  tsmsadd  24050