Theorem frlmfibas 20469

Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfibas.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmfibas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
2	1	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
3		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4		fvexd 6449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 8555	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
6	5	ralrimiva 3176	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
7	6	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
8		rabid2 3330	. . 3 ⊢ ((𝑁 ↑𝑚 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 226	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑𝑚 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)})
10		frlmfibas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		frlmfibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2826	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		eqid 2826	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
14	10, 11, 12, 13	frlmbas 20463	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝐹))
15	9, 14	eqtrd 2862	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118  {crab 3122  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↑_𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223   finSupp cfsupp 8545  Basecbs 16223  0_gc0g 16454   freeLMod cfrlm 20454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-prds 16462  df-pws 16464  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455

This theorem is referenced by:  frlmbas3  20483  mamudm  20562  matbas2  20595  matunitlindflem1  33950  matunitlindflem2  33951  matunitlindf  33952  zlmodzxzel  42981  aacllem  43444