Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmfibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmfibas 20900
 Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfibas.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n 𝑁 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmfibas ((𝑅𝑉𝐼 ∈ Fin) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8422 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) → 𝑎:𝐼𝑁)
21adantl 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝑎:𝐼𝑁)
3 simpl 485 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4 fvexd 6680 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (0g𝑅) ∈ V)
52, 3, 4fdmfifsupp 8837 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g𝑅))
65ralrimiva 3182 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)𝑎 finSupp (0g𝑅))
76adantl 484 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)𝑎 finSupp (0g𝑅))
8 rabid2 3382 . . 3 ((𝑁m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼)𝑎 finSupp (0g𝑅))
97, 8sylibr 236 . 2 ((𝑅𝑉𝐼 ∈ Fin) → (𝑁m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)})
10 frlmfibas.f . . 3 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11 frlmfibas.n . . 3 𝑁 = (Base‘𝑅)
12 eqid 2821 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
13 eqid 2821 . . 3 {𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)}
1410, 11, 12, 13frlmbas 20893 . 2 ((𝑅𝑉𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝐹))
159, 14eqtrd 2856 1 ((𝑅𝑉𝐼 ∈ Fin) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3495   class class class wbr 5059  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8400  Fincfn 8503   finSupp cfsupp 8827  Basecbs 16477  0gc0g 16707   freeLMod cfrlm 20884 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885 This theorem is referenced by:  frlmbas3  20914  mamudm  20993  matbas2  21024  matunitlindflem1  34882  matunitlindflem2  34883  matunitlindf  34884  frlmfielbas  39132  zlmodzxzel  44396  aacllem  44895
 Copyright terms: Public domain W3C validator