Theorem frlmfibas 21755

Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfibas.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmfibas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 9282	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
6	5	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
8		rabid2 3423	. . 3 ⊢ ((𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)})
10		frlmfibas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		frlmfibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
14	10, 11, 12, 13	frlmbas 21748	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝐹))
15	9, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17173  0_gc0g 17396   freeLMod cfrlm 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-pws 17406  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21725  df-frlm 21740

This theorem is referenced by:  frlmbas3  21769  mamudm  22373  matbas2  22399  matunitlindflem1  37954  matunitlindflem2  37955  matunitlindf  37956  frlmfielbas  42962  zlmodzxzel  48846  aacllem  50291