Theorem frlmfibas 20909

Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfibas.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmfibas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
2	1	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
3		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4		fvexd 6688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 8846	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
6	5	ralrimiva 3185	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
8		rabid2 3384	. . 3 ⊢ ((𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)})
10		frlmfibas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		frlmfibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2824	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		eqid 2824	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
14	10, 11, 12, 13	frlmbas 20902	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝐹))
15	9, 14	eqtrd 2859	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  {crab 3145  Vcvv 3497   class class class wbr 5069  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8512   finSupp cfsupp 8836  Basecbs 16486  0_gc0g 16716   freeLMod cfrlm 20893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-prds 16724  df-pws 16726  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-dsmm 20879  df-frlm 20894

This theorem is referenced by:  frlmbas3  20923  mamudm  21002  matbas2  21033  matunitlindflem1  34892  matunitlindflem2  34893  matunitlindf  34894  frlmfielbas  39145  zlmodzxzel  44410  aacllem  44909