Theorem frlmfibas 21978

Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfibas.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmfibas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4		fvexd 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 9348	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
6	5	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
8		rabid2 3444	. . 3 ⊢ ((𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)})
10		frlmfibas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		frlmfibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
14	10, 11, 12, 13	frlmbas 21971	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝐹))
15	9, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17304  0_gc0g 17527   freeLMod cfrlm 21962

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-prds 17535  df-pws 17537  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-dsmm 21948  df-frlm 21963

This theorem is used by:  frlmbas3  21992  mamudm  22620  matbas2  22646  matunitlindflem1  22904  matunitlindflem2  22905  matunitlindf  22906  frlmfielbas  43391  zlmodzxzel  49288  aacllem  50775  veroquadmodzerod  50820  veroquadnolindfd  50821