Theorem frlmfibas 21657

Description: The base set of the finite free module as a set exponential. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfibas.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmfibas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmfibas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Proof of Theorem frlmfibas

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎:𝐼⟶𝑁)
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
4		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
5	2, 3, 4	fdmfifsupp 9375	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
6	5	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
8		rabid2 3458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)𝑎 finSupp (0g‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)})
10		frlmfibas.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
11		frlmfibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
12		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		eqid 2726	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
14	10, 11, 12, 13	frlmbas 21650	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝐹))
15	9, 14	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  0_gc0g 17394   freeLMod cfrlm 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642

This theorem is referenced by:  frlmbas3  21671  mamudm  22245  matbas2  22278  matunitlindflem1  36997  matunitlindflem2  36998  matunitlindf  36999  frlmfielbas  41635  zlmodzxzel  47307  aacllem  48122