Theorem rrxbasefi 24014

Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑_m 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxbasefi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxbasefi	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxbasefi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrxbasefi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3		rrxbasefi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	rrxbase 23992	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6		ssrab2 4007	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
7	5, 6	eqsstrdi 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
9		elmapi 8411	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
11	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
12		c0ex 10624	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 0 ∈ V)
14	10, 11, 13	fdmfifsupp 8827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
15		rabid 3331	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
16	8, 14, 15	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
17	5	eqcomd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
19	16, 18	eleqtrd 2892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20	7, 19	eqelssd 3936	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  ℝcr 10525  0cc0 10526  Basecbs 16475  ℝ^crrx 23987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-refld 20294  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-tng 23191  df-tcph 23774  df-rrx 23989

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  24015  rrxmetfi  24016  rrxtopnfi  42929  rrxtoponfi  42933  qndenserrnopnlem  42939  qndenserrn  42941  rrnprjdstle  42943  rrxlines  45147  rrxlinesc  45149  rrxlinec  45150  rrxsphere  45162