MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxbasefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxbasefi 24777
Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑m 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxbasefi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h 𝐻 = (ℝ^β€˜π‘‹)
rrxbasefi.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxbasefi (πœ‘ β†’ 𝐡 = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxbasefi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 rrxbasefi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^β€˜π‘‹)
3 rrxbasefi.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
42, 3rrxbase 24755 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
51, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6 ssrab2 4038 . . 3 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} βŠ† (ℝ ↑m 𝑋)
75, 6eqsstrdi 3999 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
8 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
9 elmapi 8788 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβ„)
109adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆβ„)
111adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
12 c0ex 11150 . . . . . 6 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 0 ∈ V)
1410, 11, 13fdmfifsupp 9316 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑓 finSupp 0)
15 rabid 3428 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
168, 14, 15sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
175eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐡)
1817adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐡)
1916, 18eleqtrd 2840 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐡)
207, 19eqelssd 3966 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (ℝ ↑m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  Vcvv 3446   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306  β„cr 11051  0cc0 11052  Basecbs 17084  β„^crrx 24750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-subg 18926  df-cmn 19565  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752
This theorem is referenced by:  rrxdsfi  24778  rrxmetfi  24779  rrxtopnfi  44535  rrxtoponfi  44539  qndenserrnopnlem  44545  qndenserrn  44547  rrnprjdstle  44549  rrxlines  46826  rrxlinesc  46828  rrxlinec  46829  rrxsphere  46841
  Copyright terms: Public domain W3C validator