Theorem rrxbasefi 24479

Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑_m 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxbasefi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxbasefi	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxbasefi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrxbasefi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3		rrxbasefi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	rrxbase 24457	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6		ssrab2 4009	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
7	5, 6	eqsstrdi 3971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
9		elmapi 8595	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
12		c0ex 10900	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 0 ∈ V)
14	10, 11, 13	fdmfifsupp 9068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
15		rabid 3304	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
16	8, 14, 15	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
17	5	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
19	16, 18	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20	7, 19	eqelssd 3938	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  ℝcr 10801  0cc0 10802  Basecbs 16840  ℝ^crrx 24452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-tng 23646  df-tcph 24238  df-rrx 24454

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  24480  rrxmetfi  24481  rrxtopnfi  43718  rrxtoponfi  43722  qndenserrnopnlem  43728  qndenserrn  43730  rrnprjdstle  43732  rrxlines  45967  rrxlinesc  45969  rrxlinec  45970  rrxsphere  45982