Theorem rrxbasefi 25343

Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑_m 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxbasefi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxbasefi	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxbasefi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrxbasefi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3		rrxbasefi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	rrxbase 25321	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6		ssrab2 4039	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
7	5, 6	eqsstrdi 3988	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
9		elmapi 8799	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
11	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
12		c0ex 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 0 ∈ V)
14	10, 11, 13	fdmfifsupp 9302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
15		rabid 3424	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
16	8, 14, 15	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
17	5	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
19	16, 18	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20	7, 19	eqelssd 3965	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  ℝcr 11043  0cc0 11044  Basecbs 17155  ℝ^crrx 25316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-drng 20651  df-field 20652  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-cnfld 21297  df-refld 21547  df-dsmm 21674  df-frlm 21689  df-tng 24505  df-tcph 25102  df-rrx 25318

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  25344  rrxmetfi  25345  rrxtopnfi  46278  rrxtoponfi  46282  qndenserrnopnlem  46288  qndenserrn  46290  rrnprjdstle  46292  rrxlines  48715  rrxlinesc  48717  rrxlinec  48718  rrxsphere  48730