Theorem rrxbasefi 24574

Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑_m 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxbasefi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxbasefi	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxbasefi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrxbasefi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3		rrxbasefi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	rrxbase 24552	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6		ssrab2 4013	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑m 𝑋)
7	5, 6	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
9		elmapi 8637	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
11	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
12		c0ex 10969	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 0 ∈ V)
14	10, 11, 13	fdmfifsupp 9138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
15		rabid 3310	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
16	8, 14, 15	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
17	5	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
19	16, 18	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
20	7, 19	eqelssd 3942	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  ℝcr 10870  0cc0 10871  Basecbs 16912  ℝ^crrx 24547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-refld 20810  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-tng 23740  df-tcph 24333  df-rrx 24549

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  24575  rrxmetfi  24576  rrxtopnfi  43828  rrxtoponfi  43832  qndenserrnopnlem  43838  qndenserrn  43840  rrnprjdstle  43842  rrxlines  46079  rrxlinesc  46081  rrxlinec  46082  rrxsphere  46094