Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxbasefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxbasefi 23616
 Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑𝑚 𝑋) for the development of the Lebesgue measure theory for n-dimensional real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxbasefi.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxbasefi (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxbasefi.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 rrxbasefi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3 rrxbasefi.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐻)
42, 3rrxbase 23594 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6 ssrab2 3908 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
85, 7eqsstrd 3858 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10 elmapi 8162 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
1110adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
121adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
13 c0ex 10370 . . . . . . 7 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 0 ∈ V)
1511, 12, 14fdmfifsupp 8573 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
169, 15jca 507 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
17 rabid 3302 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
1816, 17sylibr 226 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
195eqcomd 2784 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2019adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2118, 20eleqtrd 2861 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓𝐵)
228, 21eqelssd 3841 1 (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  ℝcr 10271  0cc0 10272  Basecbs 16255  ℝ^crrx 23589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-refld 20348  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-tng 22797  df-tcph 23376  df-rrx 23591 This theorem is referenced by:  rrxdsfi  23617  rrxmetfi  23618  rrxtopnfi  41435  rrxtoponfi  41439  qndenserrnopnlem  41445  qndenserrn  41447  rrnprjdstle  41449  rrxlines  43473  rrxlinesc  43475  rrxlinec  43476  rrxsphere  43488
 Copyright terms: Public domain W3C validator