Theorem elfilspd 21750

Description: Simplified version of ellspd 21749 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
elfilspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
elfilspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elfilspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspd.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspd.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspd.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspd.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		elfilspd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
8		elfilspd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9		elfilspd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ellspd 21749	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
11		elmapi 8782	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
13	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
14	5	fvexi 6845	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
16	12, 13, 15	fdmfifsupp 9269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
17	16	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
18	17	rexbidva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
19	10, 18	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8878   finSupp cfsupp 9255  Basecbs 17130  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  LModclmod 20803  LSpanclspn 20914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-sup 9336  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18991  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-nzr 20438  df-subrg 20495  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lmhm 20966  df-lbs 21019  df-sra 21117  df-rgmod 21118  df-dsmm 21679  df-frlm 21694  df-uvc 21730

This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  37667