Theorem elfilspd 21728

Description: Simplified version of ellspd 21727 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
ellspd.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
elfilspd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
elfilspd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elfilspd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspd.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2		ellspd.v	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		ellspd.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		ellspd.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5		ellspd.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		ellspd.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
7		elfilspd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
8		elfilspd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9		elfilspd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ellspd 21727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
11		elmapi 8783	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶𝐾)
13	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
14	5	fvexi 6840	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
16	12, 13, 15	fdmfifsupp 9284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
17	16	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
18	17	rexbidva 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)(𝑓 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹)))))
19	10, 18	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹 “ 𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓 ∘f · 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   “ cima 5626  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  LModclmod 20781  LSpanclspn 20892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20416  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lmhm 20944  df-lbs 20997  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-uvc 21708

This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  37596