Theorem fullres2c 16806

Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fullres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcres2c 16768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
8	2, 7	resshom 16286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
10	9	oveqd 6813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))
11	10	eqeq2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
12	11	2ralbidv 3138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
13	6, 12	anbi12d 616	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))))
14	1, 7	isfull 16777	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))))
15		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
16	1, 15	isfull 16777	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
17	13, 14, 16	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   class class class wbr 4787  ran crn 5251  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064   ↾_s cress 16065  Hom chom 16160  Catccat 16532   Func cfunc 16721   Full cful 16769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-hom 16174  df-cco 16175  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-comf 16539  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679  df-func 16725  df-full 16771

This theorem is referenced by:  ffthres2c  16807