Theorem fullres2c 17571

Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fullres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcres2c 17533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
8	2, 7	resshom 17046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
10	9	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))
11	10	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
12	11	2ralbidv 3122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
13	6, 12	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))))
14	1, 7	isfull 17542	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))))
15		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
16	1, 15	isfull 17542	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
17	13, 14, 16	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Hom chom 16899  Catccat 17290   Func cfunc 17485   Full cful 17534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-homf 17296  df-comf 17297  df-ssc 17439  df-resc 17440  df-subc 17441  df-func 17489  df-full 17536

This theorem is referenced by:  ffthres2c  17572