Theorem fullres2c 17886

Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fullres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcres2c 17848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
8	2, 7	resshom 17360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
10	9	oveqd 7422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))
11	10	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
12	11	2ralbidv 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
13	6, 12	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))))
14	1, 7	isfull 17857	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))))
15		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
16	1, 15	isfull 17857	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
17	13, 14, 16	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  Hom chom 17204  Catccat 17604   Func cfunc 17800   Full cful 17849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-hom 17217  df-cco 17218  df-cat 17608  df-cid 17609  df-homf 17610  df-comf 17611  df-ssc 17753  df-resc 17754  df-subc 17755  df-func 17804  df-full 17851

This theorem is referenced by:  ffthres2c  17887