Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullres2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullres2c 17207
 Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ffthres2c.a 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
ffthres2c.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r (𝜑𝑆𝑉)
ffthres2c.1 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
fullres2c (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffthres2c.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝐶)
2 ffthres2c.e . . . 4 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
3 ffthres2c.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
4 ffthres2c.r . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
5 ffthres2c.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
61, 2, 3, 4, 5funcres2c 17169 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
82, 7resshom 16689 . . . . . . 7 (𝑆𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
109oveqd 7163 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦)))
1110eqeq2d 2835 . . . 4 (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
12112ralbidv 3194 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
136, 12anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦)))))
141, 7isfull 17178 . 2 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦))))
15 eqid 2824 . . 3 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
161, 15isfull 17178 . 2 (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
1713, 14, 163bitr4g 317 1 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   class class class wbr 5053  ran crn 5544  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  Hom chom 16574  Catccat 16933   Func cfunc 17122   Full cful 17170 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-hom 16587  df-cco 16588  df-cat 16937  df-cid 16938  df-homf 16939  df-comf 16940  df-ssc 17078  df-resc 17079  df-subc 17080  df-func 17126  df-full 17172 This theorem is referenced by:  ffthres2c  17208
 Copyright terms: Public domain W3C validator