MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullres2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullres2c 16912
Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ffthres2c.a 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
ffthres2c.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r (𝜑𝑆𝑉)
ffthres2c.1 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
fullres2c (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffthres2c.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝐶)
2 ffthres2c.e . . . 4 𝐸 = (𝐷s 𝑆)
3 ffthres2c.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
4 ffthres2c.r . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
5 ffthres2c.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
61, 2, 3, 4, 5funcres2c 16874 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7 eqid 2800 . . . . . . . 8 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
82, 7resshom 16392 . . . . . . 7 (𝑆𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
109oveqd 6896 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦)))
1110eqeq2d 2810 . . . 4 (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
12112ralbidv 3171 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
136, 12anbi12d 625 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦)))))
141, 7isfull 16883 . 2 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑦))))
15 eqid 2800 . . 3 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
161, 15isfull 16883 . 2 (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑦))))
1713, 14, 163bitr4g 306 1 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090   class class class wbr 4844  ran crn 5314  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  s cress 16184  Hom chom 16277  Catccat 16638   Func cfunc 16827   Full cful 16875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-hom 16290  df-cco 16291  df-cat 16642  df-cid 16643  df-homf 16644  df-comf 16645  df-ssc 16783  df-resc 16784  df-subc 16785  df-func 16831  df-full 16877
This theorem is referenced by:  ffthres2c  16913
  Copyright terms: Public domain W3C validator