Theorem fullres2c 17732

Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fullres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcres2c 17694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
8	2, 7	resshom 17206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
10	9	oveqd 7334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))
11	10	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
12	11	2ralbidv 3209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
13	6, 12	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))))
14	1, 7	isfull 17703	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))))
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
16	1, 15	isfull 17703	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
17	13, 14, 16	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062   class class class wbr 5087  ran crn 5609  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  Basecbs 16989   ↾_s cress 17018  Hom chom 17050  Catccat 17450   Func cfunc 17646   Full cful 17695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-hom 17063  df-cco 17064  df-cat 17454  df-cid 17455  df-homf 17456  df-comf 17457  df-ssc 17599  df-resc 17600  df-subc 17601  df-func 17650  df-full 17697

This theorem is referenced by:  ffthres2c  17733