Theorem fullres2c 17845

Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffthres2c.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
ffthres2c.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
ffthres2c.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
ffthres2c.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
ffthres2c.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fullres2c	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Proof of Theorem fullres2c

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffthres2c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		ffthres2c.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾s 𝑆)
3		ffthres2c.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		ffthres2c.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		ffthres2c.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6	1, 2, 3, 4, 5	funcres2c 17807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺))
7		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
8	2, 7	resshom 17319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐸))
10	9	oveqd 7363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))
11	10	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
12	11	2ralbidv 3196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
13	6, 12	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦)))))
14	1, 7	isfull 17816	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑦))))
15		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
16	1, 15	isfull 17816	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ran (𝑥𝐺𝑦) = ((𝐹‘𝑥)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑦))))
17	13, 14, 16	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Full 𝐸)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5091  ran crn 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  Hom chom 17169  Catccat 17567   Func cfunc 17758   Full cful 17808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-hom 17182  df-cco 17183  df-cat 17571  df-cid 17572  df-homf 17573  df-comf 17574  df-ssc 17714  df-resc 17715  df-subc 17716  df-func 17762  df-full 17810

This theorem is referenced by:  ffthres2c  17846