Theorem inclfusubc 18098

Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inclfusubc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
inclfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
inclfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
inclfusubc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
inclfusubc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
inclfusubc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem inclfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthfunc 18064	. . 3 ⊢ (𝑆 Faith 𝐶) ⊆ (𝑆 Func 𝐶)
2		inclfusubc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		inclfusubc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (idfunc‘𝑆) = (idfunc‘𝑆)
5	3, 4	rescfth 18094	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
7	1, 6	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶))
8		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶))
9		inclfusubc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
10		inclfusubc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
11	9, 10	opeq12d 4841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
12		inclfusubc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13	3, 4, 12	idfusubc 18055	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
15	11, 14	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = (idfunc‘𝑆))
16	15	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
17	8, 16	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
18	7, 17	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17367   ↾_cat cresc 17963  Subcatcsubc 17964   Func cfunc 18009  id_funccidfu 18010   Faith cfth 18060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-homf 17824  df-ssc 17965  df-resc 17966  df-subc 17967  df-func 18013  df-idfu 18014  df-full 18061  df-fth 18062

This theorem is used by:  rngcifuestrc  20871