Theorem inclfusubc 42728

Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inclfusubc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
inclfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
inclfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
inclfusubc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
inclfusubc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
inclfusubc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem inclfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthfunc 16926	. . 3 ⊢ (𝑆 Faith 𝐶) ⊆ (𝑆 Func 𝐶)
2		inclfusubc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		inclfusubc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (idfunc‘𝑆) = (idfunc‘𝑆)
5	3, 4	rescfth 16956	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
7	1, 6	sseldi 3825	. 2 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶))
8		df-br 4876	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶))
9		inclfusubc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
10		inclfusubc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
11	9, 10	opeq12d 4633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
12		inclfusubc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13	3, 4, 12	idfusubc 42727	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
15	11, 14	eqtr4d 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = (idfunc‘𝑆))
16	15	eleq1d 2891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
17	8, 16	syl5bb 275	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
18	7, 17	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875   I cid 5251   ↾ cres 5348  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  Basecbs 16229   ↾_cat cresc 16827  Subcatcsubc 16828   Func cfunc 16873  id_funccidfu 16874   Faith cfth 16922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-hom 16336  df-cco 16337  df-cat 16688  df-cid 16689  df-homf 16690  df-ssc 16829  df-resc 16830  df-subc 16831  df-func 16877  df-idfu 16878  df-full 16923  df-fth 16924

This theorem is referenced by:  rngcifuestrc  42858