MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inclfusubc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inclfusubc 17927
Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
inclfusubc.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
inclfusubc.s 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
inclfusubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
inclfusubc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
inclfusubc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦))))
Assertion
Ref Expression
inclfusubc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Func 𝐢)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem inclfusubc
StepHypRef Expression
1 fthfunc 17893 . . 3 (𝑆 Faith 𝐢) βŠ† (𝑆 Func 𝐢)
2 inclfusubc.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
3 inclfusubc.s . . . . 5 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
4 eqid 2725 . . . . 5 (idfuncβ€˜π‘†) = (idfuncβ€˜π‘†)
53, 4rescfth 17923 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (idfuncβ€˜π‘†) ∈ (𝑆 Faith 𝐢))
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (idfuncβ€˜π‘†) ∈ (𝑆 Faith 𝐢))
71, 6sselid 3970 . 2 (πœ‘ β†’ (idfuncβ€˜π‘†) ∈ (𝑆 Func 𝐢))
8 df-br 5144 . . 3 (𝐹(𝑆 Func 𝐢)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐢))
9 inclfusubc.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
10 inclfusubc.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦))))
119, 10opeq12d 4877 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
12 inclfusubc.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
133, 4, 12idfusubc 17883 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (idfuncβ€˜π‘†) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
142, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (idfuncβ€˜π‘†) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯𝐽𝑦)))⟩)
1511, 14eqtr4d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨𝐹, 𝐺⟩ = (idfuncβ€˜π‘†))
1615eleq1d 2810 . . 3 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐢) ↔ (idfuncβ€˜π‘†) ∈ (𝑆 Func 𝐢)))
178, 16bitrid 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝑆 Func 𝐢)𝐺 ↔ (idfuncβ€˜π‘†) ∈ (𝑆 Func 𝐢)))
187, 17mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Func 𝐢)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  Basecbs 17177   β†Ύcat cresc 17788  Subcatcsubc 17789   Func cfunc 17837  idfunccidfu 17838   Faith cfth 17889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-hom 17254  df-cco 17255  df-cat 17645  df-cid 17646  df-homf 17647  df-ssc 17790  df-resc 17791  df-subc 17792  df-func 17841  df-idfu 17842  df-full 17890  df-fth 17891
This theorem is referenced by:  rngcifuestrc  20574
  Copyright terms: Public domain W3C validator