Theorem inclfusubc 46627

Description: The "inclusion functor" from a subcategory of a category into the category itself. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inclfusubc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
inclfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
inclfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
inclfusubc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
inclfusubc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))

Assertion

Ref	Expression
inclfusubc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem inclfusubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthfunc 17854	. . 3 ⊢ (𝑆 Faith 𝐶) ⊆ (𝑆 Func 𝐶)
2		inclfusubc.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		inclfusubc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (idfunc‘𝑆) = (idfunc‘𝑆)
5	3, 4	rescfth 17884	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Faith 𝐶))
7	1, 6	sselid 3979	. 2 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶))
8		df-br 5148	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶))
9		inclfusubc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
10		inclfusubc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦))))
11	9, 10	opeq12d 4880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
12		inclfusubc.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13	3, 4, 12	idfusubc 46626	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝑆) = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥𝐽𝑦)))⟩)
15	11, 14	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ = (idfunc‘𝑆))
16	15	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝑆 Func 𝐶) ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
17	8, 16	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺 ↔ (idfunc‘𝑆) ∈ (𝑆 Func 𝐶)))
18	7, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐶)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140   ↾_cat cresc 17751  Subcatcsubc 17752   Func cfunc 17800  id_funccidfu 17801   Faith cfth 17850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-hom 17217  df-cco 17218  df-cat 17608  df-cid 17609  df-homf 17610  df-ssc 17753  df-resc 17754  df-subc 17755  df-func 17804  df-idfu 17805  df-full 17851  df-fth 17852

This theorem is referenced by:  rngcifuestrc  46848