Theorem fib0 34767

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib0	⊢ (Fibci‘0) = 0

Proof of Theorem fib0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34765	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6884	. 2 ⊢ (Fibci‘0) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0)
3		nn0ex 12511	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14910	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 34766	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		lbfzo0 13730	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
15	13, 14	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
16		s2len 14928	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
17	16	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
18	15, 17	eleqtrri 2862	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
20	4, 9, 10, 12, 19	sseqfv1 34757	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0))
21	20	mptru 1577	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0)
22		s2fv0 14926	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘0) = 0)
23	5, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘0) = 0
24	2, 21, 23	3eqtri 2790	1 ⊢ (Fibci‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  ⟨“cs2 14880  seq_strcsseq 34751  Fibcicfib 34764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-sseq 34752  df-fib 34765

This theorem is referenced by:  fib2  34770