Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fib0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fib0 31885
 Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fib0 (Fibci‘0) = 0

Proof of Theorem fib0
StepHypRef Expression
1 df-fib 31883 . . 3 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6659 . 2 (Fibci‘0) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0)
3 nn0ex 11940 . . . . 5 0 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5 0nn0 11949 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11950 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
96, 8s2cld 14280 . . . 4 (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10 eqid 2758 . . . 4 (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11 fiblem 31884 . . . . 5 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13 2nn 11747 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
14 lbfzo0 13126 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
1513, 14mpbir 234 . . . . . 6 0 ∈ (0..^2)
16 s2len 14298 . . . . . . 7 (♯‘⟨“01”⟩) = 2
1716oveq2i 7161 . . . . . 6 (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
1815, 17eleqtrri 2851 . . . . 5 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
204, 9, 10, 12, 19sseqfv1 31875 . . 3 (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0))
2120mptru 1545 . 2 ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (♯ “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0)
22 s2fv0 14296 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘0) = 0)
235, 22ax-mp 5 . 2 (⟨“01”⟩‘0) = 0
242, 21, 233eqtri 2785 1 (Fibci‘0) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ↦ cmpt 5112  ◡ccnv 5523   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   − cmin 10908  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ℤ≥cuz 12282  ..^cfzo 13082  ♯chash 13740  Word cword 13913  ⟨“cs2 14250  seqstrcsseq 31869  Fibcicfib 31882 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-word 13914  df-lsw 13962  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-sseq 31870  df-fib 31883 This theorem is referenced by:  fib2  31888
 Copyright terms: Public domain W3C validator