Theorem fib0 34407

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib0	⊢ (Fibci‘0) = 0

Proof of Theorem fib0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 34405	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6823	. 2 ⊢ (Fibci‘0) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0)
3		nn0ex 12384	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 12393	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12394	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14775	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 34406	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 12195	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		lbfzo0 13596	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
15	13, 14	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
16		s2len 14793	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
17	16	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
18	15, 17	eleqtrri 2830	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
20	4, 9, 10, 12, 19	sseqfv1 34397	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0))
21	20	mptru 1548	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0)
22		s2fv0 14791	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘0) = 0)
23	5, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘0) = 0
24	2, 21, 23	3eqtri 2758	1 ⊢ (Fibci‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ℤ_≥cuz 12729  ..^cfzo 13551  ♯chash 14234  Word cword 14417  ⟨“cs2 14745  seq_strcsseq 34391  Fibcicfib 34404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-word 14418  df-lsw 14467  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-sseq 34392  df-fib 34405

This theorem is referenced by:  fib2  34410