Theorem fib0 31681

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib0	⊢ (Fibci‘0) = 0

Proof of Theorem fib0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fib 31679	. . 3 ⊢ Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))
2	1	fveq1i 6668	. 2 ⊢ (Fibci‘0) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0)
3		nn0ex 11901	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
5		0nn0 11910	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7		1nn0 11911	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	s2cld 14229	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
10		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))
11		fiblem 31680	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
13		2nn 11708	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		lbfzo0 13075	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
15	13, 14	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
16		s2len 14247	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“01”⟩) = 2
17	16	oveq2i 7164	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)) = (0..^2)
18	15, 17	eleqtrri 2911	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“01”⟩)))
20	4, 9, 10, 12, 19	sseqfv1 31671	. . 3 ⊢ (⊤ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0))
21	20	mptru 1543	. 2 ⊢ ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘2))) ↦ ((𝑤‘((♯‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))))‘0) = (⟨“01”⟩‘0)
22		s2fv0 14245	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (⟨“01”⟩‘0) = 0)
23	5, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“01”⟩‘0) = 0
24	2, 21, 23	3eqtri 2847	1 ⊢ (Fibci‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2113  Vcvv 3493   ∩ cin 3932   ↦ cmpt 5143  ^◡ccnv 5551   “ cima 5555  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  0cc0 10534  1c1 10535   + caddc 10537   − cmin 10867  ℕcn 11635  2c2 11690  ℕ₀cn0 11895  ℤ_≥cuz 12241  ..^cfzo 13031  ♯chash 13688  Word cword 13859  ⟨“cs2 14199  seq_strcsseq 31665  Fibcicfib 31678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-n0 11896  df-xnn0 11966  df-z 11980  df-uz 12242  df-rp 12388  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13689  df-word 13860  df-lsw 13911  df-concat 13919  df-s1 13946  df-s2 14206  df-sseq 31666  df-fib 31679

This theorem is referenced by:  fib2  31684