Theorem flt4lem4 42606

Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
2	1	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3		flt4lem4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		flt4lem4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		flt4lem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10		flt4lem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
11	10	oveq1d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
12	9	nn0zd 12667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
13		1gcd 16582	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
15	11, 14	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16		coprimeprodsq 16857	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
17	4, 7, 9, 15, 16	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
19	3	nnzd 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
20		coprimeprodsq2 16858	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
21	19, 6, 9, 15, 20	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
22	2, 21	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
23	18, 22	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7450  1c1 11187   · cmul 11191  ℕcn 12295  2c2 12350  ℕ₀cn0 12555  ℤcz 12641  ↑cexp 14114   gcd cgcd 16542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16305  df-gcd 16543

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42614