Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flt4lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flt4lem4 40058
Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
flt4lem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
flt4lem4 (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4
StepHypRef Expression
1 flt4lem4.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
21eqcomd 2744 . . 3 (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3 flt4lem4.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
43nnnn0d 12036 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
5 flt4lem4.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12036 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
76nn0zd 12166 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
8 flt4lem4.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
98nnnn0d 12036 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
10 flt4lem4.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
1110oveq1d 7185 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
129nn0zd 12166 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
13 1gcd 15977 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
1511, 14eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16 coprimeprodsq 16245 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
174, 7, 9, 15, 16syl31anc 1374 . . 3 (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
182, 17mpd 15 . 2 (𝜑𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
193nnzd 12167 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
20 coprimeprodsq2 16246 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
2119, 6, 9, 15, 20syl31anc 1374 . . 3 (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
222, 21mpd 15 . 2 (𝜑𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
2318, 22jca 515 1 (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  (class class class)co 7170  1c1 10616   · cmul 10620  cn 11716  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  cexp 13521   gcd cgcd 15937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938
This theorem is referenced by:  flt4lem5f  40066
  Copyright terms: Public domain W3C validator