Theorem flt4lem4 27984

Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
2	1	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3		flt4lem4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		flt4lem4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		flt4lem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10		flt4lem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
11	10	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
12	9	nn0zd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
13		1gcd 16711	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
15	11, 14	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16		coprimeprodsq 16991	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
17	4, 7, 9, 15, 16	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
18	2, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
19	3	nnzd 12722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
20		coprimeprodsq2 16992	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
21	19, 6, 9, 15, 20	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
22	2, 21	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
23	18, 22	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  1c1 11204   · cmul 11208  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ↑cexp 14207   gcd cgcd 16669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670

This theorem is used by:  flt4lem5f  27992