Theorem flt4lem4 42597

Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
2	1	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3		flt4lem4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		flt4lem4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		flt4lem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10		flt4lem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
11	10	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
12	9	nn0zd 12621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
13		1gcd 16551	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
15	11, 14	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16		coprimeprodsq 16827	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
17	4, 7, 9, 15, 16	syl31anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
19	3	nnzd 12622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
20		coprimeprodsq2 16828	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
21	19, 6, 9, 15, 20	syl31anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
22	2, 21	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
23	18, 22	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7412  1c1 11137   · cmul 11141  ℕcn 12247  2c2 12302  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ↑cexp 14083   gcd cgcd 16512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-dvds 16272  df-gcd 16513

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42605