Theorem flt4lem4 43503

Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
2	1	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3		flt4lem4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		flt4lem4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		flt4lem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10		flt4lem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
11	10	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
12	9	nn0zd 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
13		1gcd 16629	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
15	11, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16		coprimeprodsq 16906	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
17	4, 7, 9, 15, 16	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
18	2, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
19	3	nnzd 12645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
20		coprimeprodsq2 16907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
21	19, 6, 9, 15, 20	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
22	2, 21	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
23	18, 22	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  1c1 11129   · cmul 11133  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ↑cexp 14129   gcd cgcd 16590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591

This theorem is used by:  flt4lem5f  43511