Theorem flt4lem4 42073

Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4lem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4lem4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4lem4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4lem4.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
flt4lem4.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4lem4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Proof of Theorem flt4lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4lem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐶↑2))
2	1	eqcomd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵))
3		flt4lem4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnnn0d 12562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		flt4lem4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
8		flt4lem4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
10		flt4lem4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
11	10	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = (1 gcd 𝐶))
12	9	nn0zd 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
13		1gcd 16508	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐶) = 1)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝐶) = 1)
15	11, 14	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1)
16		coprimeprodsq 16776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
17	4, 7, 9, 15, 16	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2)))
18	2, 17	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2))
19	3	nnzd 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
20		coprimeprodsq2 16777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) gcd 𝐶) = 1) → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
21	19, 6, 9, 15, 20	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) = (𝐴 · 𝐵) → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))
22	2, 21	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2))
23	18, 22	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ((𝐴 gcd 𝐶)↑2) ∧ 𝐵 = ((𝐵 gcd 𝐶)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11139   · cmul 11143  ℕcn 12242  2c2 12297  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ↑cexp 14058   gcd cgcd 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469

This theorem is referenced by:  flt4lem5f  42081