![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > flt4lem4 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem4.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
flt4lem4.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
flt4lem4.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
flt4lem4.1 | โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) |
flt4lem4.2 | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ถโ2)) |
Ref | Expression |
---|---|
flt4lem4 | โข (๐ โ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ2) โง ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ2))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | flt4lem4.2 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ถโ2)) | |
2 | 1 | eqcomd 2739 | . . 3 โข (๐ โ (๐ถโ2) = (๐ด ยท ๐ต)) |
3 | flt4lem4.a | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | nnnn0d 12481 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ0) |
5 | flt4lem4.b | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | nnnn0d 12481 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ0) |
7 | 6 | nn0zd 12533 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
8 | flt4lem4.c | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
9 | 8 | nnnn0d 12481 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) |
10 | flt4lem4.1 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) | |
11 | 10 | oveq1d 7376 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ต) gcd ๐ถ) = (1 gcd ๐ถ)) |
12 | 9 | nn0zd 12533 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
13 | 1gcd 16422 | . . . . . 6 โข (๐ถ โ โค โ (1 gcd ๐ถ) = 1) | |
14 | 12, 13 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 gcd ๐ถ) = 1) |
15 | 11, 14 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ด gcd ๐ต) gcd ๐ถ) = 1) |
16 | coprimeprodsq 16688 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โง ((๐ด gcd ๐ต) gcd ๐ถ) = 1) โ ((๐ถโ2) = (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ2))) | |
17 | 4, 7, 9, 15, 16 | syl31anc 1374 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถโ2) = (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ2))) |
18 | 2, 17 | mpd 15 | . 2 โข (๐ โ ๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ2)) |
19 | 3 | nnzd 12534 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
20 | coprimeprodsq2 16689 | . . . 4 โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ0 โง ๐ถ โ โ0) โง ((๐ด gcd ๐ต) gcd ๐ถ) = 1) โ ((๐ถโ2) = (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ2))) | |
21 | 19, 6, 9, 15, 20 | syl31anc 1374 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ถโ2) = (๐ด ยท ๐ต) โ ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ2))) |
22 | 2, 21 | mpd 15 | . 2 โข (๐ โ ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ2)) |
23 | 18, 22 | jca 513 | 1 โข (๐ โ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ2) โง ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ2))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 1c1 11060 ยท cmul 11064 โcn 12161 2c2 12216 โ0cn0 12421 โคcz 12507 โcexp 13976 gcd cgcd 16382 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-sup 9386 df-inf 9387 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fl 13706 df-mod 13784 df-seq 13916 df-exp 13977 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-dvds 16145 df-gcd 16383 |
This theorem is referenced by: flt4lem5f 41042 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |