Theorem fmtno5lem2 45006

Description: Lemma 2 for fmtno5 45009. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5lem2	⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680

Proof of Theorem fmtno5lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 12253	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2		6nn0 12254	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	2, 1	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
4	3, 1	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
5		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12452	. 2 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
7		eqid 2738	. 2 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
8		0nn0 12248	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9		2nn0 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10	5, 9	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
11		7nn0 12255	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
12	10, 11	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;327 ∈ ℕ0
13	12, 2	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;3276 ∈ ℕ0
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;6553 = ;;;6553
15		1nn0 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16		5p1e6 12120	. . . . 5 ⊢ (5 + 1) = 6
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;655 = ;;655
18		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;65 = ;65
19		6t5e30 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 5) = ;30
20		2cn 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
21	20	addid2i 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
22	5, 8, 9, 19, 21	decaddi 12497	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 · 5) + 2) = ;32
23		5t5e25 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
24	1, 2, 1, 18, 1, 9, 22, 23	decmul1c 12502	. . . . . . 7 ⊢ (;65 · 5) = ;;325
25		5p2e7 12129	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
26	10, 1, 9, 24, 25	decaddi 12497	. . . . . 6 ⊢ ((;65 · 5) + 2) = ;;327
27	1, 3, 1, 17, 1, 9, 26, 23	decmul1c 12502	. . . . 5 ⊢ (;;655 · 5) = ;;;3275
28	12, 1, 16, 27	decsuc 12468	. . . 4 ⊢ ((;;655 · 5) + 1) = ;;;3276
29		5cn 12061	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		3cn 12054	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
31		5t3e15 12538	. . . . 5 ⊢ (5 · 3) = ;15
32	29, 30, 31	mulcomli 10984	. . . 4 ⊢ (3 · 5) = ;15
33	1, 4, 5, 14, 1, 15, 28, 32	decmul1c 12502	. . 3 ⊢ (;;;6553 · 5) = ;;;;32765
34		5p3e8 12130	. . 3 ⊢ (5 + 3) = 8
35	13, 1, 5, 33, 34	decaddi 12497	. 2 ⊢ ((;;;6553 · 5) + 3) = ;;;;32768
36	1, 6, 2, 7, 8, 5, 35, 19	decmul1c 12502	1 ⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  ;cdc 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438

This theorem is referenced by:  fmtno5lem4  45008