Theorem fpprel2 46457

Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel2	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 46444	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4		eluz4eluz2 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
7		fppr2odd 46447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
8	7	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
10	6, 8, 9	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11		fpprwppr 46455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12		2re 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
14		eluz4nn 12870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16		0le2 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 0 ≤ 2)
18		eluz2 12828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19		4z 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
20		zlem1lt 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
21	19, 20	mpan 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22		4m1e3 12341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
23	22	breq1i 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
24	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25		3re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27		zre 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
28	27	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29		2lt3 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
32	24, 26, 28, 30, 31	lttrd 11375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
33	32	ex 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
34	23, 33	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
35	21, 34	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37	36	3imp 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
38	18, 37	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 < 𝑋)
39		modid 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
40	13, 15, 17, 38, 39	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41	40	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
42	11, 41	sylan9eq 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
43	10, 42	jca 513	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
44	43	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
45	3, 44	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47		ge2nprmge4 16638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
48	47	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
49		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
50	48, 49	jca 513	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
51	50	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
52	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54		eluz2nn 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56	55	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
57	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
58	48, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
59	53, 56, 57, 58, 39	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
60	59	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
61	60	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
62	61	biimpa 478	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
63	52, 62	jca 513	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64		gcd2odd1 46384	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65	64	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
66	65	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67		fpprwpprb 46456	. . . 4 ⊢ ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
69	51, 63, 68	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
70	46, 69	impbii 208	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834  ↑cexp 14027   gcd cgcd 16435  ℙcprime 16608   Odd codd 46341   FPPr cfppr 46440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-even 46342  df-odd 46343  df-fppr 46441

This theorem is referenced by: (None)