Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprel2 47666
Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprel2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 fpprel 47653 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
31, 2mp1i 13 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4 eluz4eluz2 12923 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
543ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
7 fppr2odd 47656 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9 simpr2 1194 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
106, 8, 93jca 1127 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11 fpprwppr 47664 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 2 ∈ ℝ)
14 eluz4nn 12926 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
1514nnrpd 13073 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16 0le2 12366 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 0 ≤ 2)
18 eluz2 12882 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
20 zlem1lt 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
2119, 20mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22 4m1e3 12393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 1) = 3
2322breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
2412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25 3re 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29 2lt3 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
3224, 26, 28, 30, 31lttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
3423, 33biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
3521, 34sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37363imp 1110 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
3818, 37sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 2 < 𝑋)
39 modid 13933 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
4013, 15, 17, 38, 39syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41403ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
4211, 41sylan9eq 2795 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
4310, 42jca 511 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
4443ex 412 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
453, 44sylbid 240 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47 ge2nprmge4 16735 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
48473adant2 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
49 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
5048, 49jca 511 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
5150adantr 480 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
521a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
5312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54 eluz2nn 12922 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5554nnrpd 13073 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56553ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
5716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
5848, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
5953, 56, 57, 58, 39syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
6059eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
6160eqeq2d 2746 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
6261biimpa 476 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
6352, 62jca 511 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64 gcd2odd1 47593 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65643ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
6665adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67 fpprwpprb 47665 . . . 4 ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
6866, 67syl 17 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
6951, 63, 68mpbir2and 713 . 2 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
7046, 69impbii 209 1 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032   mod cmo 13906  cexp 14099   gcd cgcd 16528  cprime 16705   Odd codd 47550   FPPr cfppr 47649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-even 47551  df-odd 47552  df-fppr 47650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator