Theorem fpprel2 47722

Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel2	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12318	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 47709	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4		eluz4eluz2 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
7		fppr2odd 47712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
10	6, 8, 9	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11		fpprwppr 47720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12		2re 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
14		eluz4nn 12907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16		0le2 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 0 ≤ 2)
18		eluz2 12863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19		4z 12631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
20		zlem1lt 12649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
21	19, 20	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22		4m1e3 12374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
23	22	breq1i 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
24	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29		2lt3 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
32	24, 26, 28, 30, 31	lttrd 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
34	23, 33	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
35	21, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37	36	3imp 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
38	18, 37	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 < 𝑋)
39		modid 13918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
40	13, 15, 17, 38, 39	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
42	11, 41	sylan9eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
43	10, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
45	3, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47		ge2nprmge4 16725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
48	47	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
49		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
50	48, 49	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
52	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54		eluz2nn 12903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
57	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
58	48, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
59	53, 56, 57, 58, 39	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
60	59	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
61	60	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
62	61	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
63	52, 62	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64		gcd2odd1 47649	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65	64	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67		fpprwpprb 47721	. . . 4 ⊢ ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
69	51, 63, 68	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
70	46, 69	impbii 209	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891  ↑cexp 14084   gcd cgcd 16518  ℙcprime 16695   Odd codd 47606   FPPr cfppr 47705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-even 47607  df-odd 47608  df-fppr 47706

This theorem is referenced by: (None)