Theorem fpprel2 49044

Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel2	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12443	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 49031	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4		uzuzle24 13039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
7		fppr2odd 49034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9		simpr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
10	6, 8, 9	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11		fpprwppr 49042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12		2re 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
14		eluz4nn 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16		0le2 12472	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 0 ≤ 2)
18		eluz2 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19		4z 12757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
20		zlem1lt 12775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
21	19, 20	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22		4m1e3 12498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
23	22	breq1i 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
24	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25		3re 12450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27		zre 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29		2lt3 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
32	24, 26, 28, 30, 31	lttrd 11498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
33	32	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
34	23, 33	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
35	21, 34	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37	36	3imp 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
38	18, 37	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 < 𝑋)
39		modid 14063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
40	13, 15, 17, 38, 39	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41	40	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
42	11, 41	sylan9eq 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
43	10, 42	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
44	43	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
45	3, 44	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
46	45	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47		ge2nprmge4 16906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
48	47	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
49		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
50	48, 49	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
51	50	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
52	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54		eluz2nn 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56	55	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
57	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
58	48, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
59	53, 56, 57, 58, 39	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
60	59	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
61	60	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
62	61	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
63	52, 62	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64		gcd2odd1 48971	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65	64	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
66	65	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67		fpprwpprb 49043	. . . 4 ⊢ ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
68	66, 67	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
69	51, 63, 68	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
70	46, 69	impbii 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036  ↑cexp 14231   gcd cgcd 16693  ℙcprime 16875   Odd codd 48928   FPPr cfppr 49027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-even 48929  df-odd 48930  df-fppr 49028

This theorem is used by: (None)