Theorem fpprel2 47983

Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel2	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12218	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 47970	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4		uzuzle24 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
7		fppr2odd 47973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
10	6, 8, 9	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11		fpprwppr 47981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12		2re 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
14		eluz4nn 12803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16		0le2 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 0 ≤ 2)
18		eluz2 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19		4z 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
20		zlem1lt 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
21	19, 20	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22		4m1e3 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
23	22	breq1i 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
24	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25		3re 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29		2lt3 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
32	24, 26, 28, 30, 31	lttrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
33	32	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
34	23, 33	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
35	21, 34	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37	36	3imp 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
38	18, 37	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 < 𝑋)
39		modid 13816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
40	13, 15, 17, 38, 39	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
42	11, 41	sylan9eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
43	10, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
45	3, 44	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
46	45	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47		ge2nprmge4 16628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
48	47	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
49		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
50	48, 49	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
52	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54		eluz2nn 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
57	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
58	48, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
59	53, 56, 57, 58, 39	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
60	59	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
61	60	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
62	61	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
63	52, 62	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64		gcd2odd1 47910	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65	64	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
66	65	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67		fpprwpprb 47982	. . . 4 ⊢ ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
69	51, 63, 68	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
70	46, 69	impbii 209	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789  ↑cexp 13984   gcd cgcd 16421  ℙcprime 16598   Odd codd 47867   FPPr cfppr 47966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-even 47868  df-odd 47869  df-fppr 47967

This theorem is referenced by: (None)