Theorem fpprel2 48390

Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprel2	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 48377	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4		uzuzle24 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5	4	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
6	5	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
7		fppr2odd 48380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9		simpr2 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
10	6, 8, 9	3jca 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11		fpprwppr 48388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12		2re 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 ∈ ℝ)
14		eluz4nn 12910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16		0le2 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 0 ≤ 2)
18		eluz2 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19		4z 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
20		zlem1lt 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
21	19, 20	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22		4m1e3 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 − 1) = 3
23	22	breq1i 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
24	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25		3re 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27		zre 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29		2lt3 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
32	24, 26, 28, 30, 31	lttrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
33	32	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
34	23, 33	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
35	21, 34	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37	36	3imp 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
38	18, 37	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 2 < 𝑋)
39		modid 13925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
40	13, 15, 17, 38, 39	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41	40	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
42	11, 41	sylan9eq 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
43	10, 42	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
44	43	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
45	3, 44	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
46	45	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47		ge2nprmge4 16756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
48	47	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
49		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
50	48, 49	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
51	50	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
52	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54		eluz2nn 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
55	54	nnrpd 13054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56	55	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
57	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
58	48, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
59	53, 56, 57, 58, 39	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
60	59	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
61	60	eqeq2d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
62	61	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
63	52, 62	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64		gcd2odd1 48317	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65	64	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
66	65	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67		fpprwpprb 48389	. . . 4 ⊢ ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
68	66, 67	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
69	51, 63, 68	mpbir2and 725	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
70	46, 69	impbii 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012   mod cmo 13898  ↑cexp 14093   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725   Odd codd 48274   FPPr cfppr 48373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13374  df-fz 13532  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-even 48275  df-odd 48276  df-fppr 48374

This theorem is referenced by: (None)