Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprel2 47728
Description: An alternate definition for a Fermat pseudoprime to the base 2. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprel2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))

Proof of Theorem fpprel2
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 fpprel 47715 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
31, 2mp1i 13 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
4 eluz4eluz2 12925 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
543ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
7 fppr2odd 47718 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∈ Odd )
9 simpr2 1196 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → 𝑋 ∉ ℙ)
106, 8, 93jca 1129 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
11 fpprwppr 47726 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
12 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 2 ∈ ℝ)
14 eluz4nn 12928 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
1514nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℝ+)
16 0le2 12368 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 0 ≤ 2)
18 eluz2 12884 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋))
19 4z 12651 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
20 zlem1lt 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
2119, 20mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 ↔ (4 − 1) < 𝑋))
22 4m1e3 12395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 − 1) = 3
2322breq1i 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) < 𝑋 ↔ 3 < 𝑋)
2412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 ∈ ℝ)
27 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
29 2lt3 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 3)
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 3 < 𝑋)
3224, 26, 28, 30, 31lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 3 < 𝑋) → 2 < 𝑋)
3332ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → (3 < 𝑋 → 2 < 𝑋))
3423, 33biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → ((4 − 1) < 𝑋 → 2 < 𝑋))
3521, 34sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑋 → 2 < 𝑋)))
37363imp 1111 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑋) → 2 < 𝑋)
3818, 37sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 2 < 𝑋)
39 modid 13936 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑋)) → (2 mod 𝑋) = 2)
4013, 15, 17, 38, 39syl22anc 839 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (2 mod 𝑋) = 2)
41403ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (2 mod 𝑋) = 2)
4211, 41sylan9eq 2797 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)
4310, 42jca 511 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ∧ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
4443ex 412 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
453, 44sylbid 240 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2)))
4645pm2.43i 52 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
47 ge2nprmge4 16738 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
48473adant2 1132 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
49 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∉ ℙ)
5048, 49jca 511 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
5150adantr 480 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
521a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 2 ∈ ℕ)
5312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
54 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5554nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
56553ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ ℝ+)
5716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 0 ≤ 2)
5848, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 < 𝑋)
5953, 56, 57, 58, 39syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (2 mod 𝑋) = 2)
6059eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 2 = (2 mod 𝑋))
6160eqeq2d 2748 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2 ↔ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
6261biimpa 476 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋))
6352, 62jca 511 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))
64 gcd2odd1 47655 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Odd → (𝑋 gcd 2) = 1)
65643ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 gcd 2) = 1)
6665adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 gcd 2) = 1)
67 fpprwpprb 47727 . . . 4 ((𝑋 gcd 2) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
6866, 67syl 17 . . 3 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (2 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = (2 mod 𝑋)))))
6951, 63, 68mpbir2and 713 . 2 (((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘2))
7046, 69impbii 209 1 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ Odd ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ ((2↑𝑋) mod 𝑋) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102   gcd cgcd 16531  cprime 16708   Odd codd 47612   FPPr cfppr 47711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-even 47613  df-odd 47614  df-fppr 47712
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator