Theorem 4fppr1 48500

Description: 4 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
4fppr1	⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Proof of Theorem 4fppr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12623	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		uzid 12872	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ≥‘4))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘4)
4		4nprm 16748	. . 3 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
5	4	nelir 3067	. 2 ⊢ 4 ∉ ℙ
6		4m1e3 12364	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
7	6	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (1↑(4 − 1)) = (1↑3)
8		3z 12622	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
9		1exp 14123	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑3) = 1
11	7, 10	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (1↑(4 − 1)) = 1
12	11	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = (1 mod 4)
13		4re 12320	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		1lt4 12414	. . . 4 ⊢ 1 < 4
15		1mod 13932	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 1 < 4) → (1 mod 4) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ (1 mod 4) = 1
17	12, 16	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1
18		1nn 12239	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fpprel 48493	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1))
21	3, 5, 17, 20	mpbir3an 1360	1 ⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   < clt 11238   − cmin 11436  ℕcn 12228  3c3 12291  4c4 12292  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ℙcprime 16724   FPPr cfppr 48489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725  df-fppr 48490

This theorem is referenced by: (None)