Theorem 4fppr1 48560

Description: 4 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
4fppr1	⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Proof of Theorem 4fppr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12645	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		uzid 12895	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ≥‘4))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘4)
4		4nprm 16777	. . 3 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
5	4	nelir 3069	. 2 ⊢ 4 ∉ ℙ
6		4m1e3 12386	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
7	6	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (1↑(4 − 1)) = (1↑3)
8		3z 12644	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
9		1exp 14147	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑3) = 1
11	7, 10	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (1↑(4 − 1)) = 1
12	11	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = (1 mod 4)
13		4re 12342	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		1lt4 12436	. . . 4 ⊢ 1 < 4
15		1mod 13956	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 1 < 4) → (1 mod 4) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ (1 mod 4) = 1
17	12, 16	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1
18		1nn 12261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fpprel 48553	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1))
21	3, 5, 17, 20	mpbir3an 1360	1 ⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  1c1 11118   < clt 11260   − cmin 11458  ℕcn 12250  3c3 12313  4c4 12314  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880   mod cmo 13922  ↑cexp 14117  ℙcprime 16753   FPPr cfppr 48549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335  df-prm 16754  df-fppr 48550

This theorem is used by: (None)