Theorem 4fppr1 48388

Description: 4 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
4fppr1	⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Proof of Theorem 4fppr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12627	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		uzid 12876	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ≥‘4))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘4)
4		4nprm 16752	. . 3 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
5	4	nelir 3073	. 2 ⊢ 4 ∉ ℙ
6		4m1e3 12368	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
7	6	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ (1↑(4 − 1)) = (1↑3)
8		3z 12626	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
9		1exp 14126	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑3) = 1
11	7, 10	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (1↑(4 − 1)) = 1
12	11	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = (1 mod 4)
13		4re 12324	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		1lt4 12418	. . . 4 ⊢ 1 < 4
15		1mod 13935	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 1 < 4) → (1 mod 4) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ (1 mod 4) = 1
17	12, 16	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1
18		1nn 12243	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fpprel 48381	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1))
21	3, 5, 17, 20	mpbir3an 1358	1 ⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  1c1 11100   < clt 11242   − cmin 11440  ℕcn 12232  3c3 12295  4c4 12296  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861   mod cmo 13901  ↑cexp 14096  ℙcprime 16728   FPPr cfppr 48377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-prm 16729  df-fppr 48378

This theorem is referenced by: (None)