Theorem 4fppr1 46390

Description: 4 is the (smallest) Fermat pseudoprime to the base 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
4fppr1	⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Proof of Theorem 4fppr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 12593	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
2		uzid 12834	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ (ℤ≥‘4))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘4)
4		4nprm 16629	. . 3 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
5	4	nelir 3050	. 2 ⊢ 4 ∉ ℙ
6		4m1e3 12338	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = 3
7	6	oveq2i 7417	. . . . 5 ⊢ (1↑(4 − 1)) = (1↑3)
8		3z 12592	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
9		1exp 14054	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1↑3) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1↑3) = 1
11	7, 10	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (1↑(4 − 1)) = 1
12	11	oveq1i 7416	. . 3 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = (1 mod 4)
13		4re 12293	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		1lt4 12385	. . . 4 ⊢ 1 < 4
15		1mod 13865	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 1 < 4) → (1 mod 4) = 1)
16	13, 14, 15	mp2an 691	. . 3 ⊢ (1 mod 4) = 1
17	12, 16	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1
18		1nn 12220	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		fpprel 46383	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 ∈ ( FPPr ‘1) ↔ (4 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 4 ∉ ℙ ∧ ((1↑(4 − 1)) mod 4) = 1))
21	3, 5, 17, 20	mpbir3an 1342	1 ⊢ 4 ∈ ( FPPr ‘1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  1c1 11108   < clt 11245   − cmin 11441  ℕcn 12209  3c3 12265  4c4 12266  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819   mod cmo 13831  ↑cexp 14024  ℙcprime 16605   FPPr cfppr 46379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-prm 16606  df-fppr 46380

This theorem is referenced by: (None)