Theorem fuco11idx 49460

Description: The identity morphism of the mapped object. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco11id.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fuco11id.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fuco11id.1	⊢ 1 = (Id‘𝐸)
fuco11idx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
fuco11idx	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco11idx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
2		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4		fuco11.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
5		fuco11id.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		fuco11id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
7		fuco11id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fuco11id 49459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹)))
9		coass 6218	. . . 4 ⊢ (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹))
10	8, 9	eqtr4di 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹))
11	10	fveq1d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋))
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	12, 13, 2	funcf1 17775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15		fuco11idx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
16	14, 15	fvco3d 6928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋) = (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)))
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	13, 17, 3	funcf1 17775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶(Base‘𝐸))
19	14, 15	ffvelcdmd 7024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
20	18, 19	fvco3d 6928	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
21	11, 16, 20	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  Idccid 17573   Func cfunc 17763   FuncCat cfuc 17854   ∘_F cfuco 49441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-hom 17187  df-cco 17188  df-cat 17576  df-cid 17577  df-func 17767  df-cofu 17769  df-nat 17855  df-fuc 17856  df-fuco 49442

This theorem is referenced by: (None)