Theorem fuco11idx 50154

Description: The identity morphism of the mapped object. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco11id.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fuco11id.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fuco11id.1	⊢ 1 = (Id‘𝐸)
fuco11idx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
fuco11idx	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco11idx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
2		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4		fuco11.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
5		fuco11id.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		fuco11id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
7		fuco11id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fuco11id 50153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹)))
9		coass 6272	. . . 4 ⊢ (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹))
10	8, 9	eqtr4di 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹))
11	10	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋))
12		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	12, 13, 2	funcf1 17948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15		fuco11idx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
16	14, 15	fvco3d 6989	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋) = (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)))
17		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	13, 17, 3	funcf1 17948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶(Base‘𝐸))
19	14, 15	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
20	18, 19	fvco3d 6989	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
21	11, 16, 20	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Idccid 17746   Func cfunc 17936   FuncCat cfuc 18027   ∘_F cfuco 50135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-func 17940  df-cofu 17942  df-nat 18028  df-fuc 18029  df-fuco 50136

This theorem is used by: (None)