Theorem fuco11idx 50269

Description: The identity morphism of the mapped object. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco11id.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fuco11id.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fuco11id.1	⊢ 1 = (Id‘𝐸)
fuco11idx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
fuco11idx	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco11idx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
2		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4		fuco11.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
5		fuco11id.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		fuco11id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
7		fuco11id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fuco11id 50268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹)))
9		coass 6266	. . . 4 ⊢ (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹))
10	8, 9	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹))
11	10	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	12, 13, 2	funcf1 17961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15		fuco11idx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
16	14, 15	fvco3d 6983	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋) = (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)))
17		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	13, 17, 3	funcf1 17961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶(Base‘𝐸))
19	14, 15	ffvelcdmd 7082	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
20	18, 19	fvco3d 6983	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
21	11, 16, 20	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Idccid 17759   Func cfunc 17949   FuncCat cfuc 18040   ∘_F cfuco 50250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-func 17953  df-cofu 17955  df-nat 18041  df-fuc 18042  df-fuco 50251

This theorem is used by: (None)