Theorem fuco11idx 49920

Description: The identity morphism of the mapped object. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco11id.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fuco11id.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fuco11id.1	⊢ 1 = (Id‘𝐸)
fuco11idx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
fuco11idx	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco11idx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
2		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4		fuco11.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
5		fuco11id.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		fuco11id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
7		fuco11id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fuco11id 49919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹)))
9		coass 6249	. . . 4 ⊢ (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹))
10	8, 9	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹))
11	10	fveq1d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋))
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	12, 13, 2	funcf1 17882	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15		fuco11idx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
16	14, 15	fvco3d 6964	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋) = (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)))
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	13, 17, 3	funcf1 17882	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶(Base‘𝐸))
19	14, 15	ffvelcdmd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
20	18, 19	fvco3d 6964	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
21	11, 16, 20	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ∘ ccom 5649  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Idccid 17680   Func cfunc 17870   FuncCat cfuc 17961   ∘_F cfuco 49901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17683  df-cid 17684  df-func 17874  df-cofu 17876  df-nat 17962  df-fuc 17963  df-fuco 49902

This theorem is referenced by: (None)