Theorem fuco11idx 49894

Description: The identity morphism of the mapped object. (Contributed by Zhi Wang, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
fuco11id.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
fuco11id.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
fuco11id.1	⊢ 1 = (Id‘𝐸)
fuco11idx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
fuco11idx	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Proof of Theorem fuco11idx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
2		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4		fuco11.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
5		fuco11id.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
6		fuco11id.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
7		fuco11id.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐸)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fuco11id 49893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹)))
9		coass 6238	. . . 4 ⊢ (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹) = ( 1 ∘ (𝐾 ∘ 𝐹))
10	8, 9	eqtr4di 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑂‘𝑈)) = (( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹))
11	10	fveq1d 6854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋))
12		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
13		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
14	12, 13, 2	funcf1 17871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝐶)⟶(Base‘𝐷))
15		fuco11idx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
16	14, 15	fvco3d 6953	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( 1 ∘ 𝐾) ∘ 𝐹)‘𝑋) = (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)))
17		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
18	13, 17, 3	funcf1 17871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(Base‘𝐷)⟶(Base‘𝐸))
19	14, 15	ffvelcdmd 7051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
20	18, 19	fvco3d 6953	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ∘ 𝐾)‘(𝐹‘𝑋)) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))
21	11, 16, 20	3eqtrd 2791	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑂‘𝑈))‘𝑋) = ( 1 ‘(𝐾‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090   ∘ ccom 5640  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  Idccid 17669   Func cfunc 17859   FuncCat cfuc 17950   ∘_F cfuco 49875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17672  df-cid 17673  df-func 17863  df-cofu 17865  df-nat 17951  df-fuc 17952  df-fuco 49876

This theorem is referenced by: (None)