MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ftalem4 26816
Description: Lemma for fta 26820: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 26817. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem4.5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) β‰  0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((πΉβ€˜0) / (π΄β€˜πΎ))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 π‘ˆ = ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≀ π‘ˆ, 1, π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ftalem4 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜πΎ) β‰  0) ∧ (𝑇 ∈ β„‚ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   π‘˜,𝐾,𝑛   π‘˜,𝑁,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜   π‘˜,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   π‘ˆ(π‘˜,𝑛)
Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4 𝐾 = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < )
2 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† β„•
3 nnuz 12869 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
42, 3sseqtri 4017 . . . . 5 {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘))
65neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 ↔ (π΄β€˜π‘) β‰  0))
7 ftalem.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnne0d 12266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
9 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
10 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
11 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
1210, 11dgreq0 26015 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
139, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
14 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
15 dgr0 26012 . . . . . . . . . . . 12 (degβ€˜0𝑝) = 0
1614, 15eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
1710, 16eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = 0)
1813, 17syl6bir 253 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘) = 0 β†’ 𝑁 = 0))
1918necon3d 2959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 β‰  0 β†’ (π΄β€˜π‘) β‰  0))
208, 19mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) β‰  0)
216, 7, 20elrabd 3684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0})
2221ne0d 4334 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} β‰  βˆ…)
23 infssuzcl 12920 . . . . 5 (({𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0})
244, 22, 23sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0})
251, 24eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0})
26 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜πΎ))
2726neeq1d 2998 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 β†’ ((π΄β€˜π‘›) β‰  0 ↔ (π΄β€˜πΎ) β‰  0))
2827elrab 3682 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ (π΄β€˜π‘›) β‰  0} ↔ (𝐾 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜πΎ) β‰  0))
2925, 28sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜πΎ) β‰  0))
30 ftalem4.7 . . . 4 𝑇 = (-((πΉβ€˜0) / (π΄β€˜πΎ))↑𝑐(1 / 𝐾))
31 plyf 25947 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
329, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
33 0cn 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
34 ffvelcdm 7082 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
3532, 33, 34sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
3611coef3 25981 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
379, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3829simpld 493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
3938nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4037, 39ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΎ) ∈ β„‚)
4129simprd 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΎ) β‰  0)
4235, 40, 41divcld 11994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜0) / (π΄β€˜πΎ)) ∈ β„‚)
4342negcld 11562 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -((πΉβ€˜0) / (π΄β€˜πΎ)) ∈ β„‚)
4438nnrecred 12267 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
4544recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐾) ∈ β„‚)
4643, 45cxpcld 26452 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-((πΉβ€˜0) / (π΄β€˜πΎ))↑𝑐(1 / 𝐾)) ∈ β„‚)
4730, 46eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
48 ftalem4.8 . . . 4 π‘ˆ = ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) + 1))
49 ftalem4.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) β‰  0)
5035, 49absrpcld 15399 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∈ ℝ+)
51 fzfid 13942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
52 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„•0)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„•0)
54 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐾 + 1)))
55 eluznn0 12905 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐾 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5653, 54, 55syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5737ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5856, 57syldan 589 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
59 expcl 14049 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘‡β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6047, 56, 59syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ (π‘‡β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
6158, 60mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
6261abscld 15387 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
6351, 62fsumrecl 15684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) ∈ ℝ)
6461absge0d 15395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))))
6551, 62, 64fsumge0 15745 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))))
6663, 65ge0p1rpd 13050 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) + 1) ∈ ℝ+)
6750, 66rpdivcld 13037 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜0)) / (Ξ£π‘˜ ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‡β†‘π‘˜))) + 1)) ∈ ℝ+)
6848, 67eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
69 ftalem4.9 . . . 4 𝑋 = if(1 ≀ π‘ˆ, 1, π‘ˆ)
70 1rp 12982 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
71 ifcl 4572 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ π‘ˆ, 1, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
7270, 68, 71sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(1 ≀ π‘ˆ, 1, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
7369, 72eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
7447, 68, 733jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ β„‚ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+))
7529, 74jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜πΎ) β‰  0) ∧ (𝑇 ∈ β„‚ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  abscabs 15185  Ξ£csu 15636  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  ftalem5  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator