MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem4 25659
Description: Lemma for fta 25663: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 25660. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ftalem4 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
2 ssrab2 4031 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
3 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3978 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1)
5 fveq2 6652 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
65neeq1d 3070 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑁) ≠ 0))
7 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnne0d 11675 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
9 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
10 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (deg‘𝐹)
11 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1210, 11dgreq0 24860 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
139, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
14 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
15 dgr0 24857 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘0𝑝) = 0
1614, 15syl6eq 2873 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
1710, 16syl5eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1813, 17syl6bir 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1918necon3d 3032 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
208, 19mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
216, 7, 20elrabd 3657 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
2221ne0d 4273 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
23 infssuzcl 12320 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
244, 22, 23sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
251, 24eqeltrid 2918 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
26 fveq2 6652 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝐾))
2726neeq1d 3070 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝐾) ≠ 0))
2827elrab 3655 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
2925, 28sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
30 ftalem4.7 . . . 4 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
31 plyf 24793 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
329, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
33 0cn 10622 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
34 ffvelrn 6831 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3532, 33, 34sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3611coef3 24827 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
379, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3829simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3938nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
4037, 39ffvelrnd 6834 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
4129simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ≠ 0)
4235, 40, 41divcld 11405 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4342negcld 10973 . . . . 5 (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4438nnrecred 11676 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
4544recnd 10658 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
4643, 45cxpcld 25297 . . . 4 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾)) ∈ ℂ)
4730, 46eqeltrid 2918 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
48 ftalem4.8 . . . 4 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
49 ftalem4.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
5035, 49absrpcld 14799 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ+)
51 fzfid 13336 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
52 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
54 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
55 eluznn0 12305 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5653, 54, 55syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5737ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5856, 57syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
59 expcl 13443 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6047, 56, 59syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6158, 60mulcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) ∈ ℂ)
6261abscld 14787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6351, 62fsumrecl 15082 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6461absge0d 14795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6551, 62, 64fsumge0 15141 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6663, 65ge0p1rpd 12449 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ+)
6750, 66rpdivcld 12436 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1)) ∈ ℝ+)
6848, 67eqeltrid 2918 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
69 ftalem4.9 . . . 4 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
70 1rp 12381 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
71 ifcl 4483 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝑈 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7270, 68, 71sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7369, 72eqeltrid 2918 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
7447, 68, 733jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+))
7529, 74jca 515 1 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  {crab 3134  wss 3908  c0 4265  ifcif 4439   class class class wbr 5042  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  infcinf 8893  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cuz 12231  +crp 12377  ...cfz 12885  cexp 13425  abscabs 14584  Σcsu 15033  0𝑝c0p 24271  Polycply 24779  coeffccoe 24781  degcdgr 24782  𝑐ccxp 25145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-0p 24272  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ply 24783  df-coe 24785  df-dgr 24786  df-log 25146  df-cxp 25147
This theorem is referenced by:  ftalem5  25660
  Copyright terms: Public domain W3C validator