Theorem gsummulg 19849

Description: Nonnegative multiple of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummulg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
gsummulg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulg.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulg.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsummulg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummulg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
gsummulg	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulg.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummulg.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummulg.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		gsummulg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsummulg.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsummulg.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
7		gsummulg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		gsummulg.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12489	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8	olcd 874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	gsummulglem 19848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 · 𝑋))) = (𝑁 · (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   finSupp cfsupp 9240  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  0_gc0g 17338   Σ_g cgsu 17339  ._gcmg 18975  CMndccmn 19687  Abelcabl 19688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690

This theorem is referenced by:  psdmul  22076