Theorem resin4p 16227

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
resin4p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resinval 16224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2		recn 11215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		efi4p.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	efi4p 16226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	5	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
7		1re 11233	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resqcl 14189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10		resubcl 11547	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13		ax-icn 11184	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
14		3nn0 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		reexpcl 14143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17		6re 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	gt0ne0ii 11775	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
20		redivcl 11959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
21	17, 19, 20	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
22	16, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23		resubcl 11547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
24	22, 23	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26		mulcl 11209	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
27	13, 25, 26	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
28	12, 27	addcld 11253	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29		mulcl 11209	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30	13, 2, 29	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31		4nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
32	3	eftlcl 16196	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	28, 33	imaddd 15303	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
35	11, 24	crimd 15320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
36	35	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℑ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
37	6, 34, 36	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
38	1, 37	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126  ici 11127   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  6c6 12324  ℕ₀cn0 12529  ℤ_≥cuz 12888  ↑cexp 14126  !cfa 14338  ℑcim 15186  Σcsu 15774  expce 16148  sincsin 16150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156

This theorem is used by:  sin01bnd  16274