MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resin4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resin4p 16085
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
resin4p (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p
StepHypRef Expression
1 resinval 16082 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
2 recn 11199 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 efi4p.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
43efi4p 16084 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜)))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜)))
65fveq2d 6888 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (β„‘β€˜(((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
7 1re 11215 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resqcl 14091 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴↑2) ∈ ℝ)
98rehalfcld 12460 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10 resubcl 11525 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
117, 9, 10sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1211recnd 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ β„‚)
13 ax-icn 11168 . . . . . 6 i ∈ β„‚
14 3nn0 12491 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•0
15 reexpcl 14046 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
1614, 15mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17 6re 12303 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
18 6pos 12323 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 11751 . . . . . . . . . 10 6 β‰  0
20 redivcl 11934 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 β‰  0) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2117, 19, 20mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23 resubcl 11525 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2422, 23mpdan 684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2524recnd 11243 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
26 mulcl 11193 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) ∈ β„‚)
2713, 25, 26sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) ∈ β„‚)
2812, 27addcld 11234 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ β„‚)
29 mulcl 11193 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
3013, 2, 29sylancr 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
31 4nn0 12492 . . . . 5 4 ∈ β„•0
323eftlcl 16054 . . . . 5 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3330, 31, 32sylancl 585 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3428, 33imaddd 15165 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))) = ((β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
3511, 24crimd 15182 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))
3635oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
376, 34, 363eqtrd 2770 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
381, 37eqtrd 2766 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  6c6 12272  β„•0cn0 12473  β„€β‰₯cuz 12823  β†‘cexp 14029  !cfa 14235  β„‘cim 15048  Ξ£csu 15635  expce 16008  sincsin 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016
This theorem is referenced by:  sin01bnd  16132
  Copyright terms: Public domain W3C validator