MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resin4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resin4p 16122
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the sine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
Assertion
Ref Expression
resin4p (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem resin4p
StepHypRef Expression
1 resinval 16119 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))))
2 recn 11236 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 efi4p.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
43efi4p 16121 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜)))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜)))
65fveq2d 6906 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (β„‘β€˜(((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
7 1re 11252 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 resqcl 14128 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴↑2) ∈ ℝ)
98rehalfcld 12497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10 resubcl 11562 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
117, 9, 10sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
1211recnd 11280 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) ∈ β„‚)
13 ax-icn 11205 . . . . . 6 i ∈ β„‚
14 3nn0 12528 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•0
15 reexpcl 14083 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
1614, 15mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17 6re 12340 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ
18 6pos 12360 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 11788 . . . . . . . . . 10 6 β‰  0
20 redivcl 11971 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 β‰  0) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2117, 19, 20mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23 resubcl 11562 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2422, 23mpdan 685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
2524recnd 11280 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
26 mulcl 11230 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) ∈ β„‚)
2713, 25, 26sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) ∈ β„‚)
2812, 27addcld 11271 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ β„‚)
29 mulcl 11230 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
3013, 2, 29sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
31 4nn0 12529 . . . . 5 4 ∈ β„•0
323eftlcl 16091 . . . . 5 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3330, 31, 32sylancl 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3428, 33imaddd 15202 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))) = ((β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
3511, 24crimd 15219 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))
3635oveq1d 7441 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((β„‘β€˜((1 βˆ’ ((𝐴↑2) / 2)) + (i Β· (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))))) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
376, 34, 363eqtrd 2772 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (β„‘β€˜(expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
381, 37eqtrd 2768 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)(πΉβ€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  6c6 12309  β„•0cn0 12510  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066  !cfa 14272  β„‘cim 15085  Ξ£csu 15672  expce 16045  sincsin 16047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053
This theorem is referenced by:  sin01bnd  16169
  Copyright terms: Public domain W3C validator