Theorem bj-pinftynminfty 37796

Description: The extended complex numbers +∞ and -∞ are different. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pinftynminfty	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem bj-pinftynminfty

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26587	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
2		pipos 26591	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
3	1, 2	gt0ne0ii 11752	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
4	3	nesymi 3021	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = π
5	1	renegcli 11521	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	rexri 11269	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
7		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8		lt0neg2 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
10	2, 9	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ -π < 0
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → -π < 0)
12		0re 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 1, 2	ltleii 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ π
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ≤ π)
15		elioc2 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ π)))
16	7, 11, 14, 15	mpbir3and 1359	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → 0 ∈ (-π(,]π))
17	6, 1, 16	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (-π(,]π)
18		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ∈ ℝ)
19	5, 12, 1	lttri 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
20	10, 2, 19	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ -π < π
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → -π < π)
22	1	leidi 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≤ π
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ≤ π)
24		elioc2 13438	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (π ∈ (-π(,]π) ↔ (π ∈ ℝ ∧ -π < π ∧ π ≤ π)))
25	18, 21, 23, 24	mpbir3and 1359	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → π ∈ (-π(,]π))
26	6, 1, 25	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ π ∈ (-π(,]π)
27		bj-inftyexpiinj 37778	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (-π(,]π) ∧ π ∈ (-π(,]π)) → (0 = π ↔ (+∞ei‘0) = (+∞ei‘π)))
28	17, 26, 27	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (0 = π ↔ (+∞ei‘0) = (+∞ei‘π))
29	4, 28	mtbi 325	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ei‘0) = (+∞ei‘π)
30		df-bj-minfty 37793	. . . . 5 ⊢ -∞ = (+∞ei‘π)
31	30	eqeq2i 2782	. . . 4 ⊢ ((+∞ei‘0) = -∞ ↔ (+∞ei‘0) = (+∞ei‘π))
32	29, 31	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ (+∞ei‘0) = -∞
33		df-bj-pinfty 37789	. . . 4 ⊢ +∞ = (+∞ei‘0)
34	33	eqeq1i 2774	. . 3 ⊢ (+∞ = -∞ ↔ (+∞ei‘0) = -∞)
35	32, 34	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ +∞ = -∞
36	35	neir 2967	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℝcr 11101  0cc0 11102  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  -cneg 11444  (,]cioc 13375  πcpi 16122  +∞eⁱcinftyexpi 37775  +∞cpinfty 37788  -∞cminfty 37792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-ioc 13379  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16123  df-sin 16125  df-cos 16126  df-pi 16128  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-mulg 19136  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-fbas 21490  df-fg 21491  df-cnfld 21494  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cld 23147  df-ntr 23148  df-cls 23149  df-nei 23226  df-lp 23264  df-perf 23265  df-cn 23355  df-cnp 23356  df-haus 23443  df-tx 23690  df-hmeo 23883  df-fil 23974  df-fm 24066  df-flim 24067  df-flf 24068  df-xms 24448  df-ms 24449  df-tms 24450  df-cncf 25008  df-limc 25996  df-dv 25997  df-bj-inftyexpi 37776  df-bj-pinfty 37789  df-bj-minfty 37793

This theorem is referenced by: (None)