Theorem recos4p 16114

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
recos4p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem recos4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosval 16111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2		recn 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		efi4p.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	efi4p 16112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	5	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
7		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resqcl 14096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 12436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10		resubcl 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13		ax-icn 11134	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
14		3nn0 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		reexpcl 14050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17		6re 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	gt0ne0ii 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
20		redivcl 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
21	17, 19, 20	mp3an23 1455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23		resubcl 11493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
24	22, 23	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26		mulcl 11159	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
27	13, 25, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
28	12, 27	addcld 11200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29		mulcl 11159	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30	13, 2, 29	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31		4nn0 12468	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
32	3	eftlcl 16082	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	28, 33	readdd 15187	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
35	11, 24	crred 15204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
36	35	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
37	6, 34, 36	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
38	1, 37	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  6c6 12252  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033  !cfa 14245  ℜcre 15070  Σcsu 15659  expce 16034  cosccos 16037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-cos 16043

This theorem is referenced by:  cos01bnd  16161