MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recos4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recos4p 16123
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
recos4p (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem recos4p
StepHypRef Expression
1 recosval 16120 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))))
2 recn 11236 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 efi4p.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43efi4p 16121 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
65fveq2d 6906 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
7 1re 11252 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
8 resqcl 14128 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12497 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
10 resubcl 11562 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
117, 9, 10sylancr 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
1211recnd 11280 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„‚)
13 ax-icn 11205 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
14 3nn0 12528 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•0
15 reexpcl 14083 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
1614, 15mpan2 689 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
17 6re 12340 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„
18 6pos 12360 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 11788 . . . . . . . . . 10 6 โ‰  0
20 redivcl 11971 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2117, 19, 20mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11562 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2422, 23mpdan 685 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2524recnd 11280 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11230 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2713, 25, 26sylancr 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2812, 27addcld 11271 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11230 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3013, 2, 29sylancr 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 4nn0 12529 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•0
323eftlcl 16091 . . . . 5 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32sylancl 584 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3428, 33readdd 15201 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
3511, 24crred 15218 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
3635oveq1d 7441 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
376, 34, 363eqtrd 2772 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
381, 37eqtrd 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  6c6 12309  โ„•0cn0 12510  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ†‘cexp 14066  !cfa 14272  โ„œcre 15084  ฮฃcsu 15672  expce 16045  cosccos 16048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-cos 16054
This theorem is referenced by:  cos01bnd  16170
  Copyright terms: Public domain W3C validator