MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recos4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recos4p 16028
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
recos4p (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem recos4p
StepHypRef Expression
1 recosval 16025 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))))
2 recn 11148 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 efi4p.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43efi4p 16026 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
65fveq2d 6851 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
7 1re 11162 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
8 resqcl 14036 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12407 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
10 resubcl 11472 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
117, 9, 10sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
1211recnd 11190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„‚)
13 ax-icn 11117 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
14 3nn0 12438 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•0
15 reexpcl 13991 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
1614, 15mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
17 6re 12250 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„
18 6pos 12270 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 11698 . . . . . . . . . 10 6 โ‰  0
20 redivcl 11881 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2117, 19, 20mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11472 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2422, 23mpdan 686 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2524recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11142 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2713, 25, 26sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2812, 27addcld 11181 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11142 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3013, 2, 29sylancr 588 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 4nn0 12439 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•0
323eftlcl 15996 . . . . 5 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3428, 33readdd 15106 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
3511, 24crred 15123 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
3635oveq1d 7377 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
376, 34, 363eqtrd 2781 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
381, 37eqtrd 2777 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  โ„•0cn0 12420  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  โ„œcre 14989  ฮฃcsu 15577  expce 15951  cosccos 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  cos01bnd  16075
  Copyright terms: Public domain W3C validator