MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recos4p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recos4p 16086
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
recos4p (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem recos4p
StepHypRef Expression
1 recosval 16083 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))))
2 recn 11199 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 efi4p.1 . . . . . 6 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
43efi4p 16084 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜(i ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)))
65fveq2d 6888 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
7 1re 11215 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
8 resqcl 14091 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
98rehalfcld 12460 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
10 resubcl 11525 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
117, 9, 10sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
1211recnd 11243 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„‚)
13 ax-icn 11168 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
14 3nn0 12491 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•0
15 reexpcl 14046 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
1614, 15mpan2 688 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
17 6re 12303 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„
18 6pos 12323 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
1917, 18gt0ne0ii 11751 . . . . . . . . . 10 6 โ‰  0
20 redivcl 11934 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2117, 19, 20mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11525 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘3) / 6) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2422, 23mpdan 684 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„)
2524recnd 11243 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚)
26 mulcl 11193 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2713, 25, 26sylancr 586 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))) โˆˆ โ„‚)
2812, 27addcld 11234 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) โˆˆ โ„‚)
29 mulcl 11193 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3013, 2, 29sylancr 586 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31 4nn0 12492 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•0
323eftlcl 16054 . . . . 5 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3330, 31, 32sylancl 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3428, 33readdd 15164 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6)))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
3511, 24crred 15181 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))
3635oveq1d 7419 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((โ„œโ€˜((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (i ยท (๐ด โˆ’ ((๐ดโ†‘3) / 6))))) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
376, 34, 363eqtrd 2770 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
381, 37eqtrd 2766 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  6c6 12272  โ„•0cn0 12473  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ†‘cexp 14029  !cfa 14235  โ„œcre 15047  ฮฃcsu 15635  expce 16008  cosccos 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-cos 16017
This theorem is referenced by:  cos01bnd  16133
  Copyright terms: Public domain W3C validator