Theorem recos4p 16351

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the cosine of a real number. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
recos4p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem recos4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recosval 16348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
2		recn 11329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		efi4p.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4	3	efi4p 16349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	5	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
7		1re 11347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		resqcl 14307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
9	8	rehalfcld 12633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
10		resubcl 11661	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
13		ax-icn 11298	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
14		3nn0 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		reexpcl 14261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
17		6re 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℝ
18		6pos 12496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 6
19	17, 18	gt0ne0ii 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
20		redivcl 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
21	17, 19, 20	mp3an23 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
22	16, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
23		resubcl 11661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
24	22, 23	mpdan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
26		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
27	13, 25, 26	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) ∈ ℂ)
28	12, 27	addcld 11367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) ∈ ℂ)
29		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
30	13, 2, 29	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31		4nn0 12665	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
32	3	eftlcl 16319	. . . . 5 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	30, 31, 32	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	28, 33	readdd 15424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
35	11, 24	crred 15441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
36	35	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((ℜ‘((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
37	6, 34, 36	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))
38	1, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  6c6 12441  ℕ₀cn0 12646  ℤ_≥cuz 13005  ↑cexp 14244  !cfa 14458  ℜcre 15307  Σcsu 15897  expce 16271  cosccos 16274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-cos 16280

This theorem is used by:  cos01bnd  16398