Theorem coseq0 46307

Description: A complex number whose cosine is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))

Proof of Theorem coseq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26440	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
3	2	halfcld 12413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) + 𝐴) ∈ ℂ)
6		sineq0 26506	. . 3 ⊢ (((π / 2) + 𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ))
8		sinhalfpip 26474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))
9	8	eqeq1d 2741	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((π / 2) + 𝐴)) = 0 ↔ (cos‘𝐴) = 0))
10		pire 26439	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
11		pipos 26441	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
12	10, 11	gt0ne0ii 11677	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ 0)
14	3, 4, 2, 13	divdird 11960	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + 𝐴) / π) = (((π / 2) / π) + (𝐴 / π)))
15		2cnd 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16		2ne0 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
18	2, 15, 2, 17, 13	divdiv32d 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) / π) = ((π / π) / 2))
19	2, 13	dividd 11920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (π / π) = 1)
20	19	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / π) / 2) = (1 / 2))
21	18, 20	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π / 2) / π) = (1 / 2))
22	21	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) / π) + (𝐴 / π)) = ((1 / 2) + (𝐴 / π)))
23		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
24	23	halfcld 12413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
25	4, 2, 13	divcld 11922	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / π) ∈ ℂ)
26	24, 25	addcomd 11339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (𝐴 / π)) = ((𝐴 / π) + (1 / 2)))
27	14, 22, 26	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((π / 2) + 𝐴) / π) = ((𝐴 / π) + (1 / 2)))
28	27	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((π / 2) + 𝐴) / π) ∈ ℤ ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
29	7, 9, 28	3bitr3d 310	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ ((𝐴 / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  sincsin 16019  cosccos 16020  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852

This theorem is referenced by:  dirkercncflem1  46546  dirkercncflem2  46547