Proof of Theorem hashtpg
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl3 1193 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑊) | 
| 2 |  | prfi 9364 | . . . . . . 7
⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin | 
| 3 | 2 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin) | 
| 4 |  | elprg 4647 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))) | 
| 5 |  | orcom 870 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐴)) | 
| 6 |  | nne 2943 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶) | 
| 7 |  | eqcom 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐵 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐵) | 
| 8 | 6, 7 | bitr2i 276 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐶 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≠ 𝐶) | 
| 9 |  | nne 2943 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 = 𝐴) | 
| 10 | 9 | bicomi 224 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐶 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) | 
| 11 | 8, 10 | orbi12i 914 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴)) | 
| 12 | 5, 11 | bitri 275 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴)) | 
| 13 | 4, 12 | bitrdi 287 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 14 | 13 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 15 | 14 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 16 | 15 | imp 406 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴)) | 
| 17 | 16 | olcd 874 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ∨ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 18 | 17 | ex 412 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ∨ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴)))) | 
| 19 |  | 3orass 1089 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐴 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ∨ (¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 20 | 18, 19 | imbitrrdi 252 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 21 |  | 3ianor 1106 | . . . . . . . . 9
⊢ (¬
(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴)) | 
| 22 | 20, 21 | imbitrrdi 252 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 23 | 22 | con2d 134 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) | 
| 24 | 23 | imp 406 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) | 
| 25 |  | hashunsng 14432 | . . . . . . 7
⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))) | 
| 26 | 25 | imp 406 | . . . . . 6
⊢ ((𝐶 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1)) | 
| 27 | 1, 3, 24, 26 | syl12anc 836 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1)) | 
| 28 |  | simpr1 1194 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → 𝐴 ≠ 𝐵) | 
| 29 |  | 3simpa 1148 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) | 
| 30 | 29 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) | 
| 31 |  | hashprg 14435 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)) | 
| 32 | 30, 31 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)) | 
| 33 | 28, 32 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) | 
| 34 | 33 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1) = (2 + 1)) | 
| 35 | 27, 34 | eqtrd 2776 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = (2 + 1)) | 
| 36 |  | df-tp 4630 | . . . . 5
⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) | 
| 37 | 36 | fveq2i 6908 | . . . 4
⊢
(♯‘{𝐴,
𝐵, 𝐶}) = (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) | 
| 38 |  | df-3 12331 | . . . 4
⊢ 3 = (2 +
1) | 
| 39 | 35, 37, 38 | 3eqtr4g 2801 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3) | 
| 40 | 39 | ex 412 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)) | 
| 41 |  | nne 2943 | . . . . . . 7
⊢ (¬
𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵) | 
| 42 |  | hashprlei 14508 | . . . . . . . . 9
⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) | 
| 43 |  | prfi 9364 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ Fin | 
| 44 |  | hashcl 14396 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈
ℕ0) | 
| 45 | 44 | nn0zd 12641 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ) | 
| 46 | 43, 45 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈
ℤ | 
| 47 |  | 2z 12651 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℤ | 
| 48 |  | zleltp1 12670 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1))) | 
| 49 |  | 2p1e3 12409 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (2 + 1) =
3 | 
| 50 | 49 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → (2 + 1) = 3) | 
| 51 | 50 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)) | 
| 52 | 51 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)) | 
| 53 | 48, 52 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)) | 
| 54 | 46, 47, 53 | mp2an 692 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐵,
𝐶}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3) | 
| 55 | 44 | nn0red 12590 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ) | 
| 56 | 43, 55 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐵,
𝐶}) ∈
ℝ | 
| 57 |  | 3re 12347 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 3 ∈
ℝ | 
| 58 | 56, 57 | ltnei 11386 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐵,
𝐶}) < 3 → 3 ≠
(♯‘{𝐵, 𝐶})) | 
| 59 | 54, 58 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘{𝐵,
𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠
(♯‘{𝐵, 𝐶})) | 
| 60 | 59 | necomd 2995 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘{𝐵,
𝐶}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 61 | 60 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ (({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 62 | 42, 61 | mp1i 13 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 63 |  | tpeq1 4741 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐵, 𝐶}) | 
| 64 |  | tpidm12 4754 | . . . . . . . . . . 11
⊢ {𝐵, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐶} | 
| 65 | 63, 64 | eqtr2di 2793 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) | 
| 66 | 65 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶})) | 
| 67 | 66 | neeq1d 2999 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 68 | 62, 67 | imbitrid 244 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 69 | 41, 68 | sylbi 217 | . . . . . 6
⊢ (¬
𝐴 ≠ 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 70 |  | hashprlei 14508 | . . . . . . . . 9
⊢ ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) | 
| 71 |  | prfi 9364 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝐴, 𝐶} ∈ Fin | 
| 72 |  | hashcl 14396 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈
ℕ0) | 
| 73 | 72 | nn0zd 12641 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ) | 
| 74 | 71, 73 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈
ℤ | 
| 75 |  | zleltp1 12670 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1))) | 
| 76 | 49 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → (2 + 1) = 3) | 
| 77 | 76 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)) | 
| 78 | 77 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)) | 
| 79 | 75, 78 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)) | 
| 80 | 74, 47, 79 | mp2an 692 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐶}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3) | 
| 81 | 72 | nn0red 12590 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ) | 
| 82 | 71, 81 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐴,
𝐶}) ∈
ℝ | 
| 83 | 82, 57 | ltnei 11386 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐶}) < 3 → 3 ≠
(♯‘{𝐴, 𝐶})) | 
| 84 | 80, 83 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠
(♯‘{𝐴, 𝐶})) | 
| 85 | 84 | necomd 2995 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐶}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 86 | 85 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ (({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 87 | 70, 86 | mp1i 13 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3) | 
| 88 |  | tpeq2 4742 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶, 𝐶}) | 
| 89 |  | tpidm23 4756 | . . . . . . . . . . 11
⊢ {𝐴, 𝐶, 𝐶} = {𝐴, 𝐶} | 
| 90 | 88, 89 | eqtr2di 2793 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) | 
| 91 | 90 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 = 𝐶 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶})) | 
| 92 | 91 | neeq1d 2999 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 93 | 87, 92 | imbitrid 244 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 94 | 6, 93 | sylbi 217 | . . . . . 6
⊢ (¬
𝐵 ≠ 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 95 |  | hashprlei 14508 | . . . . . . . . 9
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) | 
| 96 |  | hashcl 14396 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈
ℕ0) | 
| 97 | 96 | nn0zd 12641 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ) | 
| 98 | 2, 97 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈
ℤ | 
| 99 |  | zleltp1 12670 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1))) | 
| 100 | 49 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → (2 + 1) = 3) | 
| 101 | 100 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)) | 
| 102 | 101 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)) | 
| 103 | 99, 102 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2
∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)) | 
| 104 | 98, 47, 103 | mp2an 692 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐵}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3) | 
| 105 | 96 | nn0red 12590 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ) | 
| 106 | 2, 105 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(♯‘{𝐴,
𝐵}) ∈
ℝ | 
| 107 | 106, 57 | ltnei 11386 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐵}) < 3 → 3 ≠
(♯‘{𝐴, 𝐵})) | 
| 108 | 104, 107 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐵}) ≤ 2 → 3 ≠
(♯‘{𝐴, 𝐵})) | 
| 109 | 108 | necomd 2995 | . . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘{𝐴,
𝐵}) ≤ 2 →
(♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3) | 
| 110 | 109 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3) | 
| 111 | 95, 110 | mp1i 13 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3) | 
| 112 |  | tpeq3 4743 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐴}) | 
| 113 |  | tpidm13 4755 | . . . . . . . . . . 11
⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵} | 
| 114 | 112, 113 | eqtr2di 2793 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}) | 
| 115 | 114 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 = 𝐴 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶})) | 
| 116 | 115 | neeq1d 2999 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 117 | 111, 116 | imbitrid 244 | . . . . . . 7
⊢ (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 118 | 9, 117 | sylbi 217 | . . . . . 6
⊢ (¬
𝐶 ≠ 𝐴 → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 119 | 69, 94, 118 | 3jaoi 1429 | . . . . 5
⊢ ((¬
𝐴 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐵 ≠ 𝐶 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 120 | 21, 119 | sylbi 217 | . . . 4
⊢ (¬
(𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 121 | 120 | com12 32 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (¬ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3)) | 
| 122 | 121 | necon4bd 2959 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))) | 
| 123 | 40, 122 | impbid 212 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)) |