MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashtpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashtpg 14391
Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashtpg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))

Proof of Theorem hashtpg
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐶𝑊)
2 prfi 9273 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4 elprg 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
5 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴))
6 nne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵𝐶𝐵 = 𝐶)
7 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
86, 7bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶)
9 nne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶𝐴𝐶 = 𝐴)
109bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐶𝐴)
118, 10orbi12i 914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
125, 11bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
134, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1413biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
15143ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1615imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1716olcd 873 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1817ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
19 3orass 1091 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
2018, 19syl6ibr 252 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
21 3ianor 1108 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2220, 21syl6ibr 252 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
2322con2d 134 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2423imp 408 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
25 hashunsng 14299 . . . . . . 7 (𝐶𝑊 → (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1)))
2625imp 408 . . . . . 6 ((𝐶𝑊 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
271, 3, 24, 26syl12anc 836 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
28 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴𝐵)
29 3simpa 1149 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
3029adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
31 hashprg 14302 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3328, 32mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
3433oveq1d 7377 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1) = (2 + 1))
3527, 34eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = (2 + 1))
36 df-tp 4596 . . . . 5 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3736fveq2i 6850 . . . 4 (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38 df-3 12224 . . . 4 3 = (2 + 1)
3935, 37, 383eqtr4g 2802 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
4039ex 414 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
41 nne 2948 . . . . . . 7 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
42 hashprlei 14374 . . . . . . . . 9 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
43 prfi 9273 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐵, 𝐶} ∈ Fin
44 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ)
4643, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ
47 2z 12542 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
48 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1)))
49 2p1e3 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
5150breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5251biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5348, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5446, 47, 53mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)
5544nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ)
5643, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ
57 3re 12240 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
5856, 57ltnei 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
6059necomd 3000 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6160adantl 483 . . . . . . . . 9 (({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6242, 61mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
63 tpeq1 4708 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐵, 𝐶})
64 tpidm12 4721 . . . . . . . . . . 11 {𝐵, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐶}
6563, 64eqtr2di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6665fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
6766neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6862, 67imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6941, 68sylbi 216 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
70 hashprlei 14374 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2)
71 prfi 9273 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐴, 𝐶} ∈ Fin
72 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ)
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ
75 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1)))
7649a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
7776breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7877biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7975, 78sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
8074, 47, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)
8172nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ)
8271, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ
8382, 57ltnei 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8584necomd 3000 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8685adantl 483 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8770, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
88 tpeq2 4709 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶, 𝐶})
89 tpidm23 4723 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐶, 𝐶} = {𝐴, 𝐶}
9088, 89eqtr2di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9190fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
9291neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
9387, 92imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
946, 93sylbi 216 . . . . . 6 𝐵𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
95 hashprlei 14374 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2)
96 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ)
982, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ
99 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1)))
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
101100breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
102101biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10399, 102sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10498, 47, 103mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)
10596nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
1062, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ
107106, 57ltnei 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
109108necomd 3000 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
110109adantl 483 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
11195, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
112 tpeq3 4710 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐴})
113 tpidm13 4722 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
114112, 113eqtr2di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
115114fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
116115neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
117111, 116imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
1189, 117sylbi 216 . . . . . 6 𝐶𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
11969, 94, 1183jaoi 1428 . . . . 5 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
12021, 119sylbi 216 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
121120com12 32 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
122121necon4bd 2964 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
12340, 122impbid 211 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cun 3913  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  2c2 12215  3c3 12216  cz 12506  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14392  konigsberglem5  29242  poimirlem9  36116
  Copyright terms: Public domain W3C validator