MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashtpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashtpg 13836
Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashtpg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))

Proof of Theorem hashtpg
StepHypRef Expression
1 simpl3 1187 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐶𝑊)
2 prfi 8785 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4 elprg 4584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
5 orcom 866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴))
6 nne 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵𝐶𝐵 = 𝐶)
7 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
86, 7bitr2i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶)
9 nne 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶𝐴𝐶 = 𝐴)
109bicomi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐶𝐴)
118, 10orbi12i 910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
125, 11bitri 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
134, 12syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1413biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
15143ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1615imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1716olcd 872 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1817ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
19 3orass 1084 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
2018, 19syl6ibr 253 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
21 3ianor 1101 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2220, 21syl6ibr 253 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
2322con2d 136 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2423imp 407 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
25 hashunsng 13746 . . . . . . 7 (𝐶𝑊 → (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1)))
2625imp 407 . . . . . 6 ((𝐶𝑊 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
271, 3, 24, 26syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
28 simpr1 1188 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴𝐵)
29 3simpa 1142 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
31 hashprg 13749 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3328, 32mpbid 233 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
3433oveq1d 7166 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1) = (2 + 1))
3527, 34eqtrd 2860 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = (2 + 1))
36 df-tp 4568 . . . . 5 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3736fveq2i 6669 . . . 4 (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38 df-3 11693 . . . 4 3 = (2 + 1)
3935, 37, 383eqtr4g 2885 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
4039ex 413 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
41 nne 3024 . . . . . . 7 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
42 hashprlei 13819 . . . . . . . . 9 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
43 prfi 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐵, 𝐶} ∈ Fin
44 hashcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ)
4643, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ
47 2z 12006 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
48 zleltp1 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1)))
49 2p1e3 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
5150breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5251biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5348, 52sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5446, 47, 53mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)
5544nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ)
5643, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ
57 3re 11709 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
5856, 57ltnei 10756 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
6059necomd 3075 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6160adantl 482 . . . . . . . . 9 (({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6242, 61mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
63 tpeq1 4676 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐵, 𝐶})
64 tpidm12 4689 . . . . . . . . . . 11 {𝐵, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐶}
6563, 64syl6req 2877 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6665fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
6766neeq1d 3079 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6862, 67syl5ib 245 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6941, 68sylbi 218 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
70 hashprlei 13819 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2)
71 prfi 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐴, 𝐶} ∈ Fin
72 hashcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ)
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ
75 zleltp1 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1)))
7649a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
7776breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7877biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7975, 78sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
8074, 47, 79mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)
8172nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ)
8271, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ
8382, 57ltnei 10756 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8584necomd 3075 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8685adantl 482 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8770, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
88 tpeq2 4677 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶, 𝐶})
89 tpidm23 4691 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐶, 𝐶} = {𝐴, 𝐶}
9088, 89syl6req 2877 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9190fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
9291neeq1d 3079 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
9387, 92syl5ib 245 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
946, 93sylbi 218 . . . . . 6 𝐵𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
95 hashprlei 13819 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2)
96 hashcl 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ)
982, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ
99 zleltp1 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1)))
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
101100breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
102101biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10399, 102sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10498, 47, 103mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)
10596nn0red 11948 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
1062, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ
107106, 57ltnei 10756 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
109108necomd 3075 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
110109adantl 482 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
11195, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
112 tpeq3 4678 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐴})
113 tpidm13 4690 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
114112, 113syl6req 2877 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
115114fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
116115neeq1d 3079 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
117111, 116syl5ib 245 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
1189, 117sylbi 218 . . . . . 6 𝐶𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
11969, 94, 1183jaoi 1421 . . . . 5 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
12021, 119sylbi 218 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
121120com12 32 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
122121necon4bd 3040 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
12340, 122impbid 213 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  cun 3937  {csn 4563  {cpr 4565  {ctp 4567   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  2c2 11684  3c3 11685  cz 11973  chash 13683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-hash 13684
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  13837  konigsberglem5  27951  poimirlem9  34770
  Copyright terms: Public domain W3C validator