MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashtpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashtpg 14521
Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashtpg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))

Proof of Theorem hashtpg
StepHypRef Expression
1 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐶𝑊)
2 prfi 9361 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4 elprg 4653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
5 orcom 870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴))
6 nne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵𝐶𝐵 = 𝐶)
7 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
86, 7bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶)
9 nne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶𝐴𝐶 = 𝐴)
109bicomi 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐶𝐴)
118, 10orbi12i 914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
125, 11bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
134, 12bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1413biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
15143ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1615imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1716olcd 874 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1817ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
19 3orass 1089 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
2018, 19imbitrrdi 252 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
21 3ianor 1106 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2220, 21imbitrrdi 252 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
2322con2d 134 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2423imp 406 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
25 hashunsng 14428 . . . . . . 7 (𝐶𝑊 → (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1)))
2625imp 406 . . . . . 6 ((𝐶𝑊 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
271, 3, 24, 26syl12anc 837 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
28 simpr1 1193 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴𝐵)
29 3simpa 1147 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
31 hashprg 14431 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3328, 32mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
3433oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) + 1) = (2 + 1))
3527, 34eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = (2 + 1))
36 df-tp 4636 . . . . 5 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3736fveq2i 6910 . . . 4 (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (♯‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38 df-3 12328 . . . 4 3 = (2 + 1)
3935, 37, 383eqtr4g 2800 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
4039ex 412 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
41 nne 2942 . . . . . . 7 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
42 hashprlei 14504 . . . . . . . . 9 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
43 prfi 9361 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐵, 𝐶} ∈ Fin
44 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ)
4643, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ
47 2z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
48 zleltp1 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1)))
49 2p1e3 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
5150breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5251biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5348, 52sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5446, 47, 53mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3)
5544nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ)
5643, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ
57 3re 12344 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
5856, 57ltnei 11383 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐵, 𝐶}))
6059necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6160adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6242, 61mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
63 tpeq1 4747 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐵, 𝐶})
64 tpidm12 4760 . . . . . . . . . . 11 {𝐵, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐶}
6563, 64eqtr2di 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6665fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
6766neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6862, 67imbitrid 244 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6941, 68sylbi 217 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
70 hashprlei 14504 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2)
71 prfi 9361 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐴, 𝐶} ∈ Fin
72 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ)
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ
75 zleltp1 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1)))
7649a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
7776breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7877biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7975, 78sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
8074, 47, 79mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3)
8172nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ)
8271, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ
8382, 57ltnei 11383 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐶}))
8584necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8770, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
88 tpeq2 4748 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶, 𝐶})
89 tpidm23 4762 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐶, 𝐶} = {𝐴, 𝐶}
9088, 89eqtr2di 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9190fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (♯‘{𝐴, 𝐶}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
9291neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ((♯‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
9387, 92imbitrid 244 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
946, 93sylbi 217 . . . . . 6 𝐵𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
95 hashprlei 14504 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2)
96 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ)
982, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ
99 zleltp1 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1)))
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
101100breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
102101biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10399, 102sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10498, 47, 103mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3)
10596nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
1062, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ
107106, 57ltnei 11383 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) < 3 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → 3 ≠ (♯‘{𝐴, 𝐵}))
109108necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
11195, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
112 tpeq3 4749 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐴})
113 tpidm13 4761 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
114112, 113eqtr2di 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
115114fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
116115neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
117111, 116imbitrid 244 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
1189, 117sylbi 217 . . . . . 6 𝐶𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
11969, 94, 1183jaoi 1427 . . . . 5 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
12021, 119sylbi 217 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
121120com12 32 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
122121necon4bd 2958 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
12340, 122impbid 212 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  3c3 12320  cz 12611  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hash7g  14522  hashge3el3dif  14523  konigsberglem5  30285  poimirlem9  37616  usgrgrtrirex  47853  gpg3nbgrvtx0  47967  gpg3nbgrvtx0ALT  47968  gpg3nbgrvtx1  47969
  Copyright terms: Public domain W3C validator