MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgid 27031
Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgid (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
21, 1jca 511 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
3 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
9 hpgid.o . . . 4 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10 hpgid.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hpgerlem 27030 . . 3 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
122, 11reximddv 3203 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
133, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8hpgbr 27025 . 2 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐)))
1412, 13mpbird 256 1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wrex 3064  cdif 3880   class class class wbr 5070  {copab 5132  ran crn 5581  cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  hpGchpg 27022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-hpg 27023
This theorem is referenced by:  tgasa1  27123
  Copyright terms: Public domain W3C validator