MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgid 27169
Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpgid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpgid.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hpgid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
hpgid.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgid (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐿(𝑑,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hpgid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) β†’ 𝐴𝑂𝑐)
21, 1jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) β†’ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
3 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 hpgid.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 hpgid.o . . . 4 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
10 hpgid.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hpgerlem 27168 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
122, 11reximddv 3165 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
133, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8hpgbr 27163 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐴 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐)))
1412, 13mpbird 258 1 (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3890   class class class wbr 5082  {copab 5144  ran crn 5598  β€˜cfv 6455  (class class class)co 7304  Basecbs 16954  TarskiGcstrkg 26830  Itvcitv 26836  LineGclng 26837  hpGchpg 27160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5219  ax-sep 5233  ax-nul 5240  ax-pow 5298  ax-pr 5362  ax-un 7617  ax-cnex 10970  ax-resscn 10971  ax-1cn 10972  ax-icn 10973  ax-addcl 10974  ax-addrcl 10975  ax-mulcl 10976  ax-mulrcl 10977  ax-mulcom 10978  ax-addass 10979  ax-mulass 10980  ax-distr 10981  ax-i2m1 10982  ax-1ne0 10983  ax-1rid 10984  ax-rnegex 10985  ax-rrecex 10986  ax-cnre 10987  ax-pre-lttri 10988  ax-pre-lttrn 10989  ax-pre-ltadd 10990  ax-pre-mulgt0 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3279  df-rab 3280  df-v 3440  df-sbc 3723  df-csb 3839  df-dif 3896  df-un 3898  df-in 3900  df-ss 3910  df-pss 3912  df-nul 4264  df-if 4467  df-pw 4542  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4846  df-int 4888  df-iun 4934  df-br 5083  df-opab 5145  df-mpt 5166  df-tr 5200  df-id 5497  df-eprel 5503  df-po 5511  df-so 5512  df-fr 5552  df-we 5554  df-xp 5603  df-rel 5604  df-cnv 5605  df-co 5606  df-dm 5607  df-rn 5608  df-res 5609  df-ima 5610  df-pred 6214  df-ord 6281  df-on 6282  df-lim 6283  df-suc 6284  df-iota 6407  df-fun 6457  df-fn 6458  df-f 6459  df-f1 6460  df-fo 6461  df-f1o 6462  df-fv 6463  df-riota 7261  df-ov 7307  df-oprab 7308  df-mpo 7309  df-om 7742  df-1st 7860  df-2nd 7861  df-frecs 8125  df-wrecs 8156  df-recs 8230  df-rdg 8269  df-1o 8325  df-oadd 8329  df-er 8526  df-pm 8646  df-en 8762  df-dom 8763  df-sdom 8764  df-fin 8765  df-dju 9700  df-card 9738  df-pnf 11054  df-mnf 11055  df-xr 11056  df-ltxr 11057  df-le 11058  df-sub 11250  df-neg 11251  df-nn 12017  df-2 12079  df-3 12080  df-n0 12277  df-xnn0 12349  df-z 12363  df-uz 12626  df-fz 13283  df-fzo 13426  df-hash 14088  df-word 14260  df-concat 14316  df-s1 14343  df-s2 14603  df-s3 14604  df-trkgc 26851  df-trkgb 26852  df-trkgcb 26853  df-trkg 26856  df-cgrg 26914  df-hpg 27161
This theorem is referenced by:  tgasa1  27261
  Copyright terms: Public domain W3C validator