MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgid 28693
Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
hpgid (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
21, 1jca 510 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑃𝐴𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
3 hpgid.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
9 hpgid.o . . . 4 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10 hpgid.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hpgerlem 28692 . . 3 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 𝐴𝑂𝑐)
122, 11reximddv 3161 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐))
133, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8hpgbr 28687 . 2 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐴𝑂𝑐)))
1412, 13mpbird 256 1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cdif 3944   class class class wbr 5153  {copab 5215  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  hpGchpg 28684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-hpg 28685
This theorem is referenced by:  tgasa1  28785
  Copyright terms: Public domain W3C validator