Theorem hpgid 29079

Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgid	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hpgid

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
2	1, 1	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
3		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgid.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10		hpgid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hpgerlem 29078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
12	2, 11	reximddv 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
13	3, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8	hpgbr 29073	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐)))
14	12, 13	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  {copab 5175  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  TarskiGcstrkg 28727  Itvcitv 28733  LineGclng 28734  hpGchpg 29070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-hash 14381  df-word 14565  df-concat 14622  df-s1 14649  df-s2 14905  df-s3 14906  df-trkgc 28748  df-trkgb 28749  df-trkgcb 28750  df-trkg 28753  df-cgrg 28811  df-hpg 29071

This theorem is used by:  elplngid  29095  ragraghl  29180  tgasa1  29206  prlnghpg  29227