Theorem hpgid 28848

Description: The half-plane relation is reflexive. Theorem 9.11 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgid.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hpgid	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgid

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
2	1, 1	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
3		hpgid.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgid.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10		hpgid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hpgerlem 28847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 𝐴𝑂𝑐)
12	2, 11	reximddv 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐))
13	3, 4, 5, 9, 6, 7, 8, 8	hpgbr 28842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐴𝑂𝑐)))
14	12, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  TarskiGcstrkg 28509  Itvcitv 28515  LineGclng 28516  hpGchpg 28839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28530  df-trkgb 28531  df-trkgcb 28532  df-trkg 28535  df-cgrg 28593  df-hpg 28840

This theorem is referenced by:  tgasa1  28940