Theorem idfusubc0 17835

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc0	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
2		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		idfusubc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5	3, 4	subccat 17784	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝑆 ∈ Cat)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
7	1, 2, 5, 6	idfuval 17812	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩)
8		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
9		df-ov 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10	8, 9	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))
11	10	reseq2d 5946	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)) = ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
12	11	mpompt 7482	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))))
14	13	opeq2d 4838	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
15	7, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Basecbs 17148  Hom chom 17200   ↾_cat cresc 17744  Subcatcsubc 17745  id_funccidfu 17791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-homf 17605  df-ssc 17746  df-resc 17747  df-subc 17748  df-idfu 17795

This theorem is referenced by:  idfusubc  17836