Theorem idfusubc0 44489

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc0	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
2		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		idfusubc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5	3, 4	subccat 17110	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝑆 ∈ Cat)
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
7	1, 2, 5, 6	idfuval 17138	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩)
8		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
9		df-ov 7138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10	8, 9	eqtr4di 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))
11	10	reseq2d 5818	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)) = ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
12	11	mpompt 7245	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))))
14	13	opeq2d 4772	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
15	7, 14	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   × cxp 5517   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Basecbs 16475  Hom chom 16568   ↾_cat cresc 17070  Subcatcsubc 17071  id_funccidfu 17117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-hom 16581  df-cco 16582  df-cat 16931  df-cid 16932  df-homf 16933  df-ssc 17072  df-resc 17073  df-subc 17074  df-idfu 17121

This theorem is referenced by:  idfusubc  44490