Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idfusubc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfusubc0 46249
Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
idfusubc.s 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
idfusubc.i 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
idfusubc.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idfusubc0 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idfusubc.i . . 3 𝐼 = (idfuncβ€˜π‘†)
2 idfusubc.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
3 idfusubc.s . . . 4 𝑆 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
4 id 22 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
53, 4subccat 17739 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝑆 ∈ Cat)
6 eqid 2733 . . 3 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
71, 2, 5, 6idfuval 17767 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (𝑧 ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ( I β†Ύ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§)))⟩)
8 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§) = ((Hom β€˜π‘†)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
9 df-ov 7361 . . . . . . 7 (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦) = ((Hom β€˜π‘†)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
108, 9eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§) = (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦))
1110reseq2d 5938 . . . . 5 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ( I β†Ύ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§)) = ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))
1211mpompt 7471 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ( I β†Ύ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))
1312a1i 11 . . 3 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ( I β†Ύ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦))))
1413opeq2d 4838 . 2 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), (𝑧 ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↦ ( I β†Ύ ((Hom β€˜π‘†)β€˜π‘§)))⟩ = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩)
157, 14eqtrd 2773 1 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐼 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯(Hom β€˜π‘†)𝑦)))⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17088  Hom chom 17149   β†Ύcat cresc 17696  Subcatcsubc 17697  idfunccidfu 17746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-homf 17555  df-ssc 17698  df-resc 17699  df-subc 17700  df-idfu 17750
This theorem is referenced by:  idfusubc  46250
  Copyright terms: Public domain W3C validator