Theorem idfusubc0 17858

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc0	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
2		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		idfusubc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5	3, 4	subccat 17807	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝑆 ∈ Cat)
6		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
7	1, 2, 5, 6	idfuval 17835	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩)
8		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
9		df-ov 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10	8, 9	eqtr4di 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))
11	10	reseq2d 5975	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)) = ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
12	11	mpompt 7518	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))))
14	13	opeq2d 4875	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
15	7, 14	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   × cxp 5667   ↾ cres 5671  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  Hom chom 17217   ↾_cat cresc 17764  Subcatcsubc 17765  id_funccidfu 17814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-idfu 17818

This theorem is referenced by:  idfusubc  17859