Theorem idfusubc0 17823

Description: The identity functor for a subcategory is an "inclusion functor" from the subcategory into its supercategory. (Contributed by AV, 29-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfusubc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
idfusubc.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
idfusubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idfusubc0	⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem idfusubc0

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfusubc.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑆)
2		idfusubc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		idfusubc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
5	3, 4	subccat 17772	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝑆 ∈ Cat)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
7	1, 2, 5, 6	idfuval 17800	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩)
8		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
9		df-ov 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦) = ((Hom ‘𝑆)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10	8, 9	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((Hom ‘𝑆)‘𝑧) = (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))
11	10	reseq2d 5938	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)) = ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
12	11	mpompt 7472	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧))) = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦))))
14	13	opeq2d 4836	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑧 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑆)‘𝑧)))⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)
15	7, 14	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥(Hom ‘𝑆)𝑦)))⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17136  Hom chom 17188   ↾_cat cresc 17732  Subcatcsubc 17733  id_funccidfu 17779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-hom 17201  df-cco 17202  df-cat 17591  df-cid 17592  df-homf 17593  df-ssc 17734  df-resc 17735  df-subc 17736  df-idfu 17783

This theorem is referenced by:  idfusubc  17824