Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volioof 44693
Description: The function that assigns the Lebesgue measure to open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volioof (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volioof
StepHypRef Expression
1 volf 25045 . 2 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2 ioof 13423 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6717 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 df-ov 7411 . . . . . . . 8 ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) = ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩)
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) = ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩))
7 1st2nd2 8013 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝑥 = ⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩)
87eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩ = 𝑥)
98fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩) = ((,)‘𝑥))
106, 9eqtr2d 2773 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘𝑥) = ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)))
11 ioombl 25081 . . . . . 6 ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) ∈ dom vol
1210, 11eqeltrdi 2841 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘𝑥) ∈ dom vol)
1312rgen 3063 . . . 4 𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol
144, 13pm3.2i 471 . . 3 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol)
15 ffnfv 7117 . . 3 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol))
1614, 15mpbir 230 . 2 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
17 fco 6741 . 2 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol) → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
181, 16, 17mp2an 690 1 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  𝒫 cpw 4602  cop 4634   × cxp 5674  dom cdm 5676  ccom 5680   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  *cxr 11246  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  volcvol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  volioofmpt  44700  voliooicof  44702  ovolval3  45353  ovolval5lem2  45359
  Copyright terms: Public domain W3C validator