Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volioof 42273
Description: The function that assigns the Lebesgue measure to open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
volioof (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem volioof
StepHypRef Expression
1 volf 24129 . 2 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
2 ioof 12834 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6513 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 df-ov 7158 . . . . . . . 8 ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) = ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩)
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) = ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩))
7 1st2nd2 7727 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → 𝑥 = ⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩)
87eqcomd 2827 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩ = 𝑥)
98fveq2d 6673 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘⟨(1st𝑥), (2nd𝑥)⟩) = ((,)‘𝑥))
106, 9eqtr2d 2857 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘𝑥) = ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)))
11 ioombl 24165 . . . . . 6 ((1st𝑥)(,)(2nd𝑥)) ∈ dom vol
1210, 11eqeltrdi 2921 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) → ((,)‘𝑥) ∈ dom vol)
1312rgen 3148 . . . 4 𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol
144, 13pm3.2i 473 . . 3 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol)
15 ffnfv 6881 . . 3 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)((,)‘𝑥) ∈ dom vol))
1614, 15mpbir 233 . 2 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
17 fco 6530 . 2 ((vol:dom vol⟶(0[,]+∞) ∧ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol) → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
181, 16, 17mp2an 690 1 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  𝒫 cpw 4538  cop 4572   × cxp 5552  dom cdm 5554  ccom 5558   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  1st c1st 7686  2nd c2nd 7687  cr 10535  0cc0 10536  +∞cpnf 10671  *cxr 10673  (,)cioo 12737  [,]cicc 12740  volcvol 24063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-xmet 20537  df-met 20538  df-ovol 24064  df-vol 24065
This theorem is referenced by:  volioofmpt  42280  voliooicof  42282  ovolval3  42930  ovolval5lem2  42936
  Copyright terms: Public domain W3C validator