Theorem uniioombl 25748

Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25712.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniioombl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13469	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		uniioombl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4		rexpssxrxp 11249	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	3, 4	sstri 3946	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6		fss 6722	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
7	2, 5, 6	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8		fco 6730	. . . . 5 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	9	frnd 6714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
11		sspwuni 5066	. . 3 ⊢ (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13		elpwi 4569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
15		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
16		rphalfcl 13040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rphalfcld 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
19	18	ovolgelb 25639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
20	14, 15, 17, 19	syl2an3an 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
21	2	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22		uniioombl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
23	22	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
24		uniioombl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
25		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
26	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
28	16	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31		elmapi 8842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32	31	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
33		simprrl 792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
34		simprrr 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
35	21, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34	uniioombllem6 25747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
36	20, 35	rexlimddv 3172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
37		rpcn 13022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
39		2cnd 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
42	38, 39, 39, 41, 41	divdiv1d 12017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
43		2t2e4 12399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
45	42, 44	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
46	45	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
47		4cn 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
49		4ne0 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
51	38, 48, 50	divcan2d 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
52	46, 51	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
53	52	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
54	36, 53	breqtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
55	54	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
56		inss1 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
58		ovolsscl 25645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
59	57, 14, 15, 58	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60		difssd 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61		ovolsscl 25645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
62	60, 14, 15, 61	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63	59, 62	readdcld 11233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64		alrple 13227	. . . . . 6 ⊢ ((((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
65	63, 15, 64	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
66	55, 65	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
67	66	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
69		ismbl2 25686	. 2 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
70	12, 68, 69	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872  Disj wdisj 5076   class class class wbr 5109   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  supcsup 9396  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  4c4 12292  ℝ⁺crp 13011  (,)cioo 13367  seqcseq 14033  abscabs 15281  vol*covol 25621  volcvol 25622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cmp 23544  df-ovol 25623  df-vol 25624

This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25749