MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uniioombl 25088
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25052.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13420 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4228 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11255 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3990 . . . . . 6 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6731 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6738 . . . . 5 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6722 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5102 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 elpwi 4608 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
1413ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
15 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
16 rphalfcl 12997 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 13024 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
1918ovolgelb 24979 . . . . . . . . 9 ((𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
2014, 15, 17, 19syl2an3an 1423 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
212ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
22 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
24 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2615adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2816adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 13024 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
33 simprrl 780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
34 simprrr 781 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2)))
3521, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34uniioombllem6 25087 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
3620, 35rexlimddv 3162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
37 rpcn 12980 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
39 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
40 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
4238, 39, 39, 41, 41divdiv1d 12017 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / (2 Β· 2)))
43 2t2e4 12372 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· 2) = 4
4443oveq2i 7415 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ / (2 Β· 2)) = (π‘Ÿ / 4)
4542, 44eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / 4))
4645oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = (4 Β· (π‘Ÿ / 4)))
47 4cn 12293 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 ∈ β„‚)
49 4ne0 12316 . . . . . . . . . . 11 4 β‰  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 β‰  0)
5138, 48, 50divcan2d 11988 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· (π‘Ÿ / 4)) = π‘Ÿ)
5246, 51eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = π‘Ÿ)
5352oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))) = ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5436, 53breqtrd 5173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5554ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
56 inss1 4227 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
58 ovolsscl 24985 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
5957, 14, 15, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60 difssd 4131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
61 ovolsscl 24985 . . . . . . . 8 (((𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 14, 15, 61syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6359, 62readdcld 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64 alrple 13181 . . . . . 6 ((((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6563, 15, 64syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6655, 65mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))
6766expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) β†’ ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
6867ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
69 ismbl2 25026 . 2 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))))
7012, 68, 69sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8816  supcsup 9431  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  seqcseq 13962  abscabs 15177  vol*covol 24961  volcvol 24962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cmp 22873  df-ovol 24963  df-vol 24964
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25089
  Copyright terms: Public domain W3C validator