MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombl 24486
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 24450.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13035 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3 inss2 4144 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4 rexpssxrxp 10878 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
53, 4sstri 3910 . . . . . 6 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6 fss 6562 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
72, 5, 6sylancl 589 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8 fco 6569 . . . . 5 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
91, 7, 8sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
109frnd 6553 . . 3 (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5008 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
1210, 11sylib 221 . 2 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13 elpwi 4522 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
1413ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
15 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
16 rphalfcl 12613 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 12640 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
1918ovolgelb 24377 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
2014, 15, 17, 19syl2an3an 1424 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
212ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
2322ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
24 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
25 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ran ((,) ∘ 𝐹) = ran ((,) ∘ 𝐹)
2615adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
2816adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
2928adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 12640 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31 elmapi 8530 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3231ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
33 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓))
34 simprrr 782 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
3521, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34uniioombllem6 24485 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
3620, 35rexlimddv 3210 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
37 rpcn 12596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℂ)
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
39 2cnd 11908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
40 2ne0 11934 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
4238, 39, 39, 41, 41divdiv1d 11639 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
43 2t2e4 11994 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
4443oveq2i 7224 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
4542, 44eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
4645oveq2d 7229 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
47 4cn 11915 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
49 4ne0 11938 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
5138, 48, 50divcan2d 11610 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
5246, 51eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
5352oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5436, 53breqtrd 5079 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
5554ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
56 inss1 4143 . . . . . . . . 9 (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
58 ovolsscl 24383 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
5957, 14, 15, 58syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60 difssd 4047 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61 ovolsscl 24383 . . . . . . . 8 (((𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 14, 15, 61syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6359, 62readdcld 10862 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64 alrple 12796 . . . . . 6 ((((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6563, 15, 64syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
6655, 65mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
6766expr 460 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
6867ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
69 ismbl2 24424 . 2 ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ ( ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
7012, 68, 69sylanbrc 586 1 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513   cuni 4819  Disj wdisj 5018   class class class wbr 5053   × cxp 5549  dom cdm 5551  ran crn 5552  ccom 5555  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  supcsup 9056  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  4c4 11887  +crp 12586  (,)cioo 12935  seqcseq 13574  abscabs 14797  vol*covol 24359  volcvol 24360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-rest 16927  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cmp 22284  df-ovol 24361  df-vol 24362
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  24487
  Copyright terms: Public domain W3C validator