MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uniioombl 25339
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25303.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13429 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4229 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11264 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3991 . . . . . 6 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6734 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6741 . . . . 5 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6725 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5103 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 elpwi 4609 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
1413ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
15 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
16 rphalfcl 13006 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 13033 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
1918ovolgelb 25230 . . . . . . . . 9 ((𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
2014, 15, 17, 19syl2an3an 1421 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
212ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
22 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2322ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
24 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
25 eqid 2731 . . . . . . . . 9 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2816adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 13033 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31 elmapi 8847 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3231ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
33 simprrl 778 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
34 simprrr 779 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2)))
3521, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34uniioombllem6 25338 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
3620, 35rexlimddv 3160 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
37 rpcn 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
39 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
40 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
4238, 39, 39, 41, 41divdiv1d 12026 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / (2 Β· 2)))
43 2t2e4 12381 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· 2) = 4
4443oveq2i 7423 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ / (2 Β· 2)) = (π‘Ÿ / 4)
4542, 44eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / 4))
4645oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = (4 Β· (π‘Ÿ / 4)))
47 4cn 12302 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 ∈ β„‚)
49 4ne0 12325 . . . . . . . . . . 11 4 β‰  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 β‰  0)
5138, 48, 50divcan2d 11997 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· (π‘Ÿ / 4)) = π‘Ÿ)
5246, 51eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = π‘Ÿ)
5352oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))) = ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5436, 53breqtrd 5174 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5554ralrimiva 3145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
56 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
58 ovolsscl 25236 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
5957, 14, 15, 58syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60 difssd 4132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
61 ovolsscl 25236 . . . . . . . 8 (((𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 14, 15, 61syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6359, 62readdcld 11248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64 alrple 13190 . . . . . 6 ((((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6563, 15, 64syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6655, 65mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))
6766expr 456 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) β†’ ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
6867ralrimiva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
69 ismbl2 25277 . 2 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))))
7012, 68, 69sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824  supcsup 9439  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  4c4 12274  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  seqcseq 13971  abscabs 15186  vol*covol 25212  volcvol 25213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25340
  Copyright terms: Public domain W3C validator