Theorem uniioombl 25643

Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25607.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniioombl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13507	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		uniioombl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3		inss2 4259	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4		rexpssxrxp 11335	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	3, 4	sstri 4018	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6		fss 6763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
7	2, 5, 6	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8		fco 6771	. . . . 5 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	9	frnd 6755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
11		sspwuni 5123	. . 3 ⊢ (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13		elpwi 4629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
15		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
16		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rphalfcld 13111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
19	18	ovolgelb 25534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
20	14, 15, 17, 19	syl2an3an 1422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
21	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22		uniioombl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
23	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
24		uniioombl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
25		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
26	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
28	16	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31		elmapi 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
33		simprrl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
34		simprrr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
35	21, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34	uniioombllem6 25642	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
36	20, 35	rexlimddv 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
37		rpcn 13067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
39		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
42	38, 39, 39, 41, 41	divdiv1d 12101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
43		2t2e4 12457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
45	42, 44	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
46	45	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
47		4cn 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
49		4ne0 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
51	38, 48, 50	divcan2d 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
52	46, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
53	52	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
54	36, 53	breqtrd 5192	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
55	54	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
56		inss1 4258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
58		ovolsscl 25540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
59	57, 14, 15, 58	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60		difssd 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61		ovolsscl 25540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
62	60, 14, 15, 61	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63	59, 62	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64		alrple 13268	. . . . . 6 ⊢ ((((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
65	63, 15, 64	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
66	55, 65	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
67	66	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
69		ismbl2 25581	. 2 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
70	12, 68, 69	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  Disj wdisj 5133   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  4c4 12350  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  seqcseq 14052  abscabs 15283  vol*covol 25516  volcvol 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519

This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25644