Theorem uniioombl 25637

Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25601.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniioombl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13483	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		uniioombl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3		inss2 4245	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4		rexpssxrxp 11303	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	3, 4	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6		fss 6752	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8		fco 6760	. . . . 5 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	9	frnd 6744	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
11		sspwuni 5104	. . 3 ⊢ (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13		elpwi 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
15		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
16		rphalfcl 13059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rphalfcld 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
19	18	ovolgelb 25528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
20	14, 15, 17, 19	syl2an3an 1421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
21	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22		uniioombl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
24		uniioombl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
25		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
26	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
28	16	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31		elmapi 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
33		simprrl 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
34		simprrr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
35	21, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34	uniioombllem6 25636	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
36	20, 35	rexlimddv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
37		rpcn 13042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
39		2cnd 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
42	38, 39, 39, 41, 41	divdiv1d 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
43		2t2e4 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
45	42, 44	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
46	45	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
47		4cn 12348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
49		4ne0 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
51	38, 48, 50	divcan2d 12042	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
52	46, 51	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
53	52	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
54	36, 53	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
55	54	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
56		inss1 4244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
58		ovolsscl 25534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
59	57, 14, 15, 58	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60		difssd 4146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61		ovolsscl 25534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
62	60, 14, 15, 61	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63	59, 62	readdcld 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64		alrple 13244	. . . . . 6 ⊢ ((((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
65	63, 15, 64	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
66	55, 65	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
67	66	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
69		ismbl2 25575	. 2 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
70	12, 68, 69	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3959   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689   ∘ ccom 5692  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  supcsup 9477  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  4c4 12320  ℝ⁺crp 13031  (,)cioo 13383  seqcseq 14038  abscabs 15269  vol*covol 25510  volcvol 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cmp 23410  df-ovol 25512  df-vol 25513

This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25638