Theorem uniioombl 25540

Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25504.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniioombl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniioombl

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13462	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2		uniioombl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
3		inss2 4213	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
4		rexpssxrxp 11278	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
5	3, 4	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6		fss 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8		fco 6729	. . . . 5 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	9	frnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ)
11		sspwuni 5076	. . 3 ⊢ (ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
12	10, 11	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
13		elpwi 4582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑧 ⊆ ℝ)
14	13	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → 𝑧 ⊆ ℝ)
15		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
16		rphalfcl 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
17	16	rphalfcld 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
19	18	ovolgelb 25431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
20	14, 15, 17, 19	syl2an3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))
21	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22		uniioombl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
24		uniioombl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
25		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
26	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)
28	16	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
30	29	rphalfcld 13061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((𝑟 / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31		elmapi 8861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
33		simprrl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → 𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
34		simprrr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2)))
35	21, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34	uniioombllem6 25539	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝑧 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝑧) + ((𝑟 / 2) / 2))))) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
36	20, 35	rexlimddv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))))
37		rpcn 13017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℂ)
39		2cnd 12316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
42	38, 39, 39, 41, 41	divdiv1d 12046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / (2 · 2)))
43		2t2e4 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
44	43	oveq2i 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 / (2 · 2)) = (𝑟 / 4)
45	42, 44	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑟 / 2) / 2) = (𝑟 / 4))
46	45	oveq2d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = (4 · (𝑟 / 4)))
47		4cn 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ∈ ℂ)
49		4ne0 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 4 ≠ 0)
51	38, 48, 50	divcan2d 12017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · (𝑟 / 4)) = 𝑟)
52	46, 51	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (4 · ((𝑟 / 2) / 2)) = 𝑟)
53	52	oveq2d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘𝑧) + (4 · ((𝑟 / 2) / 2))) = ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
54	36, 53	breqtrd 5145	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
55	54	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟))
56		inss1 4212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧
57	56	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
58		ovolsscl 25437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
59	57, 14, 15, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60		difssd 4112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧)
61		ovolsscl 25437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
62	60, 14, 15, 61	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
63	59, 62	readdcld 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64		alrple 13220	. . . . . 6 ⊢ ((((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
65	63, 15, 64	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → (((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ ((vol*‘𝑧) + 𝑟)))
66	55, 65	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*‘𝑧) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))
67	66	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
68	67	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧)))
69		ismbl2 25478	. 2 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑧) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝑧 ∩ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*‘(𝑧 ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≤ (vol*‘𝑧))))
70	12, 68, 69	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  Disj wdisj 5086   class class class wbr 5119   × cxp 5652  dom cdm 5654  ran crn 5655   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8838  supcsup 9450  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464   / cdiv 11892  ℕcn 12238  2c2 12293  4c4 12295  ℝ⁺crp 13006  (,)cioo 13360  seqcseq 14017  abscabs 15251  vol*covol 25413  volcvol 25414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-dju 9913  df-card 9951  df-acn 9954  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-cmp 23323  df-ovol 25415  df-vol 25416

This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25541