MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uniioombl 25113
Description: A disjoint union of open intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25077.) Lemma 565Ca of [Fremlin5] p. 214. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniioombl (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑆(π‘₯)
Proof of Theorem uniioombl
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13426 . . . . 5 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 uniioombl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3 inss2 4229 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
4 rexpssxrxp 11261 . . . . . . 7 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
53, 4sstri 3991 . . . . . 6 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6 fss 6734 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
72, 5, 6sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8 fco 6741 . . . . 5 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
91, 7, 8sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
109frnd 6725 . . 3 (πœ‘ β†’ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ)
11 sspwuni 5103 . . 3 (ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
1210, 11sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ)
13 elpwi 4609 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
1413ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ 𝑧 βŠ† ℝ)
15 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
16 rphalfcl 13003 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 13030 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓))
1918ovolgelb 25004 . . . . . . . . 9 ((𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
2014, 15, 17, 19syl2an3an 1422 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•)(𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
212ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
22 uniioombl.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
24 uniioombl.3 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
2615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)
2816adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ (π‘Ÿ / 2) ∈ ℝ+)
3029rphalfcld 13030 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) ∈ ℝ+)
31 elmapi 8845 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
3231ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
33 simprrl 779 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ 𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓))
34 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2)))
3521, 23, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 18, 34uniioombllem6 25112 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ↑m β„•) ∧ (𝑧 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + ((π‘Ÿ / 2) / 2))))) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
3620, 35rexlimddv 3161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))))
37 rpcn 12986 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
39 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
40 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 2 β‰  0)
4238, 39, 39, 41, 41divdiv1d 12023 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / (2 Β· 2)))
43 2t2e4 12378 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· 2) = 4
4443oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ / (2 Β· 2)) = (π‘Ÿ / 4)
4542, 44eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ÿ / 2) / 2) = (π‘Ÿ / 4))
4645oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = (4 Β· (π‘Ÿ / 4)))
47 4cn 12299 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 ∈ β„‚)
49 4ne0 12322 . . . . . . . . . . 11 4 β‰  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 4 β‰  0)
5138, 48, 50divcan2d 11994 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· (π‘Ÿ / 4)) = π‘Ÿ)
5246, 51eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2)) = π‘Ÿ)
5352oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜π‘§) + (4 Β· ((π‘Ÿ / 2) / 2))) = ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5436, 53breqtrd 5174 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
5554ralrimiva 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ))
56 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
58 ovolsscl 25010 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
5957, 14, 15, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
60 difssd 4132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧)
61 ovolsscl 25010 . . . . . . . 8 (((𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)) βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6260, 14, 15, 61syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ ℝ)
6359, 62readdcld 11245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ)
64 alrple 13187 . . . . . 6 ((((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6563, 15, 64syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ (((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ ((vol*β€˜π‘§) + π‘Ÿ)))
6655, 65mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ)) β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))
6766expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℝ) β†’ ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
6867ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§)))
69 ismbl2 25051 . 2 (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ↔ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝒫 ℝ((vol*β€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ ((vol*β€˜(𝑧 ∩ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹))) + (vol*β€˜(𝑧 βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)))) ≀ (vol*β€˜π‘§))))
7012, 68, 69sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  seqcseq 13968  abscabs 15183  vol*covol 24986  volcvol 24987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989
This theorem is referenced by:  uniiccmbl  25114
  Copyright terms: Public domain W3C validator