MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uniioombllem3a 25100
Description: Lemma for uniioombl 25105. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3a (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑗)
Proof of Theorem uniioombllem3a
StepHypRef Expression
1 uniioombl.k . . 3 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
2 ioof 13423 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
3 uniioombl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4 inss2 4229 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
5 rexpssxrxp 11258 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
64, 5sstri 3991 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
7 fss 6734 . . . . . . 7 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
83, 6, 7sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
9 fco 6741 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
102, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
11 ffun 6720 . . . . 5 (((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐺))
12 funiunfv 7246 . . . . 5 (Fun ((,) ∘ 𝐺) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
14 elfznn 13529 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
15 fvco3 6990 . . . . . 6 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
163, 14, 15syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1716iuneq2dv 5021 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1813, 17eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
191, 18eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
20 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
213, 14, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2221elin2d 4199 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
23 1st2nd2 8013 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2524fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩))
26 df-ov 7411 . . . . . . . 8 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2725, 26eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
28 ioossre 13384 . . . . . . 7 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ
2927, 28eqsstrdi 4036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3029ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
31 iunss 5048 . . . . 5 (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3319, 32eqsstrd 4020 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
34 fzfid 13937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
3527fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
36 ovolfcl 24982 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
373, 14, 36syl2an 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
38 ovolioo 25084 . . . . . . 7 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4035, 39eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4137simp2d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11641 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4534, 44fsumrecl 15679 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4619fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4729, 44jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
4847ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
49 ovolfiniun 25017 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5146, 50eqbrtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
52 ovollecl 24999 . . 3 ((𝐾 βŠ† ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5333, 45, 51, 52syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5419, 53jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  ...cfz 13483  seqcseq 13965  abscabs 15180  Ξ£csu 15631  vol*covol 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25101
  Copyright terms: Public domain W3C validator