MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uniioombllem3a 25334
Description: Lemma for uniioombl 25339. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3a (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑗)
Proof of Theorem uniioombllem3a
StepHypRef Expression
1 uniioombl.k . . 3 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
2 ioof 13429 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
3 uniioombl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4 inss2 4230 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
5 rexpssxrxp 11264 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
64, 5sstri 3992 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
7 fss 6735 . . . . . . 7 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
83, 6, 7sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
9 fco 6742 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
102, 8, 9sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
11 ffun 6721 . . . . 5 (((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐺))
12 funiunfv 7250 . . . . 5 (Fun ((,) ∘ 𝐺) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
14 elfznn 13535 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
15 fvco3 6991 . . . . . 6 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
163, 14, 15syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1716iuneq2dv 5022 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1813, 17eqtr3d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
191, 18eqtrid 2783 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
20 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
213, 14, 20syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2221elin2d 4200 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
23 1st2nd2 8017 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2524fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩))
26 df-ov 7415 . . . . . . . 8 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2725, 26eqtr4di 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
28 ioossre 13390 . . . . . . 7 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ
2927, 28eqsstrdi 4037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3029ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
31 iunss 5049 . . . . 5 (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3319, 32eqsstrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
34 fzfid 13943 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
3527fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
36 ovolfcl 25216 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
373, 14, 36syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
38 ovolioo 25318 . . . . . . 7 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4035, 39eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4137simp2d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11647 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4534, 44fsumrecl 15685 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4619fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4729, 44jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
4847ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
49 ovolfiniun 25251 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5034, 48, 49syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5146, 50eqbrtrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
52 ovollecl 25233 . . 3 ((𝐾 βŠ† ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5333, 45, 51, 52syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5419, 53jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  seqcseq 13971  abscabs 15186  Ξ£csu 15637  vol*covol 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25335
  Copyright terms: Public domain W3C validator