Theorem uniioombllem3a 25752

Description: Lemma for uniioombl 25757. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k	⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem3a	⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝑇,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑗)   𝐸(𝑥, 𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
2		ioof 13478	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		uniioombl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		rexpssxrxp 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6	4, 5	sstri 3946	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7		fss 6722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8	3, 6, 7	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9		fco 6730	. . . . . 6 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	2, 8, 9	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11		ffun 6708	. . . . 5 ⊢ (((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐺))
12		funiunfv 7246	. . . . 5 ⊢ (Fun ((,) ∘ 𝐺) → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
14		elfznn 13586	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ)
15		fvco3 6981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
16	3, 14, 15	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
17	16	iuneq2dv 4981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
18	13, 17	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
19	1, 18	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
20		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
21	3, 14, 20	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22	21	elin2d 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ))
23		1st2nd2 8021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
25	24	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩))
26		df-ov 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
27	25, 26	eqtr4di 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
28		ioossre 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) ⊆ ℝ
29	27, 28	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
30	29	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
31		iunss 5009	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
32	30, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
33	19, 32	eqsstrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℝ)
34		fzfid 14014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
35	27	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))))
36		ovolfcl 25634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
37	3, 14, 36	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
38		ovolioo 25736	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
40	35, 39	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
41	37	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
42	37	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
44	40, 43	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
45	34, 44	fsumrecl 15790	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
46	19	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) = (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))))
47	29, 44	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
48	47	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
49		ovolfiniun 25669	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
50	34, 48, 49	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
51	46, 50	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
52		ovollecl 25651	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊆ ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗)))) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
53	33, 45, 51, 52	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
54	19, 53	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956  Disj wdisj 5076   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ran crn 5662   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11103  1c1 11105   + caddc 11107  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℝ⁺crp 13020  (,)cioo 13376  ...cfz 13539  seqcseq 14042  abscabs 15290  Σcsu 15742  vol*covol 25630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-rest 17479  df-topgen 17500  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-top 23060  df-topon 23077  df-bases 23112  df-cmp 23553  df-ovol 25632  df-vol 25633

This theorem is used by:  uniioombllem3  25753