MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem3a 24971
Description: Lemma for uniioombl 24976. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3a (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑗,π‘₯   𝑗,𝑀,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a
StepHypRef Expression
1 uniioombl.k . . 3 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
2 ioof 13373 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
3 uniioombl.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
4 inss2 4193 . . . . . . . 8 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
5 rexpssxrxp 11208 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
64, 5sstri 3957 . . . . . . 7 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
7 fss 6689 . . . . . . 7 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
83, 6, 7sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
9 fco 6696 . . . . . 6 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐺:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
102, 8, 9sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ)
11 ffun 6675 . . . . 5 (((,) ∘ 𝐺):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐺))
12 funiunfv 7199 . . . . 5 (Fun ((,) ∘ 𝐺) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)))
14 elfznn 13479 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
15 fvco3 6944 . . . . . 6 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
163, 14, 15syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1716iuneq2dv 4982 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
1813, 17eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
191, 18eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))
20 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
213, 14, 20syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2221elin2d 4163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
23 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘—) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = ⟨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2524fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩))
26 df-ov 7364 . . . . . . . 8 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)), (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))⟩)
2725, 26eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) = ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
28 ioossre 13334 . . . . . . 7 ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) βŠ† ℝ
2927, 28eqsstrdi 4002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3029ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
31 iunss 5009 . . . . 5 (βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ)
3319, 32eqsstrd 3986 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
34 fzfid 13887 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
3527fveq2d 6850 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))))
36 ovolfcl 24853 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
373, 14, 36syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
38 ovolioo 24955 . . . . . . 7 (((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))(,)(2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4035, 39eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) = ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4137simp2d 1144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((2nd β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βˆ’ (1st β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4534, 44fsumrecl 15627 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
4619fveq2d 6850 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
4729, 44jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
4847ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ))
49 ovolfiniun 24888 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5034, 48, 49syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
5146, 50eqbrtrd 5131 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))))
52 ovollecl 24870 . . 3 ((𝐾 βŠ† ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*β€˜((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5333, 45, 51, 52syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
5419, 53jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 = βˆͺ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  ...cfz 13433  seqcseq 13915  abscabs 15128  Ξ£csu 15579  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  24972
  Copyright terms: Public domain W3C validator