Theorem uniioombllem3a 25905

Description: Lemma for uniioombl 25910. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k	⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem3a	⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝑇,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑗)   𝐸(𝑥, 𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
2		ioof 13578	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		uniioombl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4183	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		rexpssxrxp 11354	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6	4, 5	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7		fss 6726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8	3, 6, 7	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9		fco 6734	. . . . . 6 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	2, 8, 9	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11		ffun 6712	. . . . 5 ⊢ (((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐺))
12		funiunfv 7252	. . . . 5 ⊢ (Fun ((,) ∘ 𝐺) → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
14		elfznn 13687	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ)
15		fvco3 6985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
16	3, 14, 15	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
17	16	iuneq2dv 4976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
18	13, 17	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
19	1, 18	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
20		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
21	3, 14, 20	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22	21	elin2d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ))
23		1st2nd2 8040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
25	24	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩))
26		df-ov 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
27	25, 26	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
28		ioossre 13538	. . . . . . 7 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) ⊆ ℝ
29	27, 28	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
30	29	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
31		iunss 5003	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
32	30, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
33	19, 32	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℝ)
34		fzfid 14116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
35	27	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))))
36		ovolfcl 25787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
37	3, 14, 36	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
38		ovolioo 25889	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
40	35, 39	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
41	37	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
42	37	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
44	40, 43	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
45	34, 44	fsumrecl 15900	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
46	19	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) = (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))))
47	29, 44	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
48	47	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
49		ovolfiniun 25822	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
50	34, 48, 49	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
51	46, 50	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
52		ovollecl 25804	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊆ ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗)))) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
53	33, 45, 51, 52	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
54	19, 53	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ran crn 5652   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Fincfn 8973  supcsup 9432  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  ...cfz 13639  seqcseq 14144  abscabs 15401  Σcsu 15853  vol*covol 25783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-ovol 25785  df-vol 25786

This theorem is used by:  uniioombllem3  25906