Theorem uniioombllem3a 25619

Description: Lemma for uniioombl 25624. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a	⊢ 𝐴 = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t	⊢ 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v	⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑇‘𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k	⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
uniioombllem3a	⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝑇,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑗)   𝐸(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
2		ioof 13487	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		uniioombl.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		rexpssxrxp 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6	4, 5	sstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7		fss 6752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8	3, 6, 7	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9		fco 6760	. . . . . 6 ⊢ (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11		ffun 6739	. . . . 5 ⊢ (((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐺))
12		funiunfv 7268	. . . . 5 ⊢ (Fun ((,) ∘ 𝐺) → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
14		elfznn 13593	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ)
15		fvco3 7008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
16	3, 14, 15	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺‘𝑗)))
17	16	iuneq2dv 5016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
18	13, 17	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
19	1, 18	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)))
20		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
21	3, 14, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22	21	elin2d 4205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ))
23		1st2nd2 8053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑗) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
25	24	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩))
26		df-ov 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺‘𝑗)), (2nd ‘(𝐺‘𝑗))⟩)
27	25, 26	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) = ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
28		ioossre 13448	. . . . . . 7 ⊢ ((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗))) ⊆ ℝ
29	27, 28	eqsstrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
30	29	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
31		iunss 5045	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
32	30, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ)
33	19, 32	eqsstrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℝ)
34		fzfid 14014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
35	27	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))))
36		ovolfcl 25501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
37	3, 14, 36	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))))
38		ovolioo 25603	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺‘𝑗))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((1st ‘(𝐺‘𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺‘𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
40	35, 39	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) = ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))))
41	37	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (2nd ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
42	37	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1st ‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
43	41, 42	resubcld 11691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((2nd ‘(𝐺‘𝑗)) − (1st ‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
44	40, 43	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
45	34, 44	fsumrecl 15770	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)
46	19	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) = (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))))
47	29, 44	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
48	47	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ))
49		ovolfiniun 25536	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺‘𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ)) → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
50	34, 48, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
51	46, 50	eqbrtrd 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))))
52		ovollecl 25518	. . 3 ⊢ ((𝐾 ⊆ ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺‘𝑗)))) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
53	33, 45, 51, 52	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
54	19, 53	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = ∪ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺‘𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ⟨cop 4632  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1^st c1st 8012  2^nd c2nd 8013  Fincfn 8985  supcsup 9480  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  ...cfz 13547  seqcseq 14042  abscabs 15273  Σcsu 15722  vol*covol 25497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  uniioombllem3  25620