MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem3a 24828
Description: Lemma for uniioombl 24833. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem3a (𝜑 → (𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐹   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑗,𝑥   𝑗,𝑀,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥   𝑇,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑗)   𝐸(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem uniioombllem3a
StepHypRef Expression
1 uniioombl.k . . 3 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
2 ioof 13258 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 uniioombl.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 inss2 4173 . . . . . . . 8 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5 rexpssxrxp 11099 . . . . . . . 8 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
64, 5sstri 3939 . . . . . . 7 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7 fss 6654 . . . . . . 7 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
83, 6, 7sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
9 fco 6661 . . . . . 6 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐺:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
102, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ)
11 ffun 6640 . . . . 5 (((,) ∘ 𝐺):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐺))
12 funiunfv 7160 . . . . 5 (Fun ((,) ∘ 𝐺) → 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)))
14 elfznn 13364 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ)
15 fvco3 6906 . . . . . 6 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺𝑗)))
163, 14, 15syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = ((,)‘(𝐺𝑗)))
1716iuneq2dv 4960 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,) ∘ 𝐺)‘𝑗) = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
1813, 17eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
191, 18eqtrid 2788 . 2 (𝜑𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)))
20 ffvelcdm 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
213, 14, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2221elin2d 4143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) ∈ (ℝ × ℝ))
23 1st2nd2 7916 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑗) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑗) = ⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2524fveq2d 6815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩))
26 df-ov 7319 . . . . . . . 8 ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐺𝑗)), (2nd ‘(𝐺𝑗))⟩)
2725, 26eqtr4di 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) = ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))))
28 ioossre 13219 . . . . . . 7 ((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗))) ⊆ ℝ
2927, 28eqsstrdi 3984 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3029ralrimiva 3139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
31 iunss 4987 . . . . 5 ( 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ)
3319, 32eqsstrd 3968 . . 3 (𝜑𝐾 ⊆ ℝ)
34 fzfid 13772 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
3527fveq2d 6815 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) = (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))))
36 ovolfcl 24710 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))))
373, 14, 36syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))))
38 ovolioo 24812 . . . . . . 7 (((1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐺𝑗)) ≤ (2nd ‘(𝐺𝑗))) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((1st ‘(𝐺𝑗))(,)(2nd ‘(𝐺𝑗)))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
4035, 39eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) = ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))))
4137simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (2nd ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
4237simp1d 1141 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1st ‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 11482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((2nd ‘(𝐺𝑗)) − (1st ‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4440, 43eqeltrd 2837 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4534, 44fsumrecl 15522 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)
4619fveq2d 6815 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐾) = (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))))
4729, 44jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ))
4847ralrimiva 3139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ))
49 ovolfiniun 24745 . . . . 5 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(((,)‘(𝐺𝑗)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ)) → (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗))) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
5146, 50eqbrtrd 5108 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))))
52 ovollecl 24727 . . 3 ((𝐾 ⊆ ℝ ∧ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗))) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(vol*‘((,)‘(𝐺𝑗)))) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
5333, 45, 51, 52syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
5419, 53jca 512 1 (𝜑 → (𝐾 = 𝑗 ∈ (1...𝑀)((,)‘(𝐺𝑗)) ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  cin 3895  wss 3896  𝒫 cpw 4544  cop 4576   cuni 4849   ciun 4936  Disj wdisj 5051   class class class wbr 5086   × cxp 5605  ran crn 5608  cima 5610  ccom 5611  Fun wfun 6459  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  1st c1st 7875  2nd c2nd 7876  Fincfn 8782  supcsup 9275  cr 10949  1c1 10951   + caddc 10953  *cxr 11087   < clt 11088  cle 11089  cmin 11284  cn 12052  +crp 12809  (,)cioo 13158  ...cfz 13318  seqcseq 13800  abscabs 15021  Σcsu 15473  vol*covol 24706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-oi 9345  df-dju 9736  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-ioo 13162  df-ico 13164  df-icc 13165  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-rlim 15274  df-sum 15474  df-rest 17207  df-topgen 17228  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-top 22123  df-topon 22140  df-bases 22176  df-cmp 22618  df-ovol 24708  df-vol 24709
This theorem is referenced by:  uniioombllem3  24829
  Copyright terms: Public domain W3C validator