Theorem ovolfs2 25799

Description: Alternative expression for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolfs2.1	⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ovolfs2	⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ovolfs2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolfcl 25694	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑛))))
2		ovolioo 25796	. . . . 5 ⊢ (((1st ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘𝑛)) ≤ (2nd ‘(𝐹‘𝑛))) → (vol*‘((1st ‘(𝐹‘𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑛)))) = ((2nd ‘(𝐹‘𝑛)) − (1st ‘(𝐹‘𝑛))))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐹‘𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑛)))) = ((2nd ‘(𝐹‘𝑛)) − (1st ‘(𝐹‘𝑛))))
4		inss2 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		rexpssxrxp 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6	4, 5	sstri 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
8	6, 7	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℝ* × ℝ*))
9		1st2nd2 8025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐹‘𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹‘𝑛)), (2nd ‘(𝐹‘𝑛))⟩)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹‘𝑛)), (2nd ‘(𝐹‘𝑛))⟩)
11	10	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐹‘𝑛)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹‘𝑛)), (2nd ‘(𝐹‘𝑛))⟩))
12		df-ov 7416	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘(𝐹‘𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑛))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹‘𝑛)), (2nd ‘(𝐹‘𝑛))⟩)
13	11, 12	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐹‘𝑛)) = ((1st ‘(𝐹‘𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑛))))
14	13	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐹‘𝑛))) = (vol*‘((1st ‘(𝐹‘𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹‘𝑛)))))
15		ovolfs2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
16	15	ovolfsval 25698	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = ((2nd ‘(𝐹‘𝑛)) − (1st ‘(𝐹‘𝑛))))
17	3, 14, 16	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = (vol*‘((,)‘(𝐹‘𝑛))))
18	17	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘((,)‘(𝐹‘𝑛)))))
19	15	ovolfsf 25699	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
20	19	feqmptd 6946	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘𝑛)))
21		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
22	21	feqmptd 6946	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘𝑛)))
23		ioof 13500	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7077	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)) → ((,)‘𝑥) ∈ 𝒫 ℝ)
26	24	feqmptd 6946	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (,) = (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑥)))
27		ovolf 25710	. . . . . 6 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
29	28	feqmptd 6946	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → vol* = (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ ↦ (vol*‘𝑦)))
30		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑥) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘((,)‘𝑥)))
31	25, 26, 29, 30	fmptco 7123	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (vol* ∘ (,)) = (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ (vol*‘((,)‘𝑥))))
32		2fveq3 6883	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑛) → (vol*‘((,)‘𝑥)) = (vol*‘((,)‘(𝐹‘𝑛))))
33	8, 22, 31, 32	fmptco 7123	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘((,)‘(𝐹‘𝑛)))))
34	18, 20, 33	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  ℝcr 11123  0cc0 11124  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  (,)cioo 13398  [,)cico 13400  [,]cicc 13401  abscabs 15321  vol*covol 25690

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cmp 23612  df-ovol 25692  df-vol 25693

This theorem is used by:  uniioombllem2  25811