MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfs2 24958
Description: Alternative expression for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs2.1 𝐺 = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfs2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ovolfs2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolfcl 24853 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
2 ovolioo 24955 . . . . 5 (((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
4 inss2 4193 . . . . . . . . . 10 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
5 rexpssxrxp 11208 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
64, 5sstri 3957 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
7 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
86, 7sselid 3946 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ* Γ— ℝ*))
9 1st2nd2 7964 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
1110fveq2d 6850 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩))
12 df-ov 7364 . . . . . 6 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
1413fveq2d 6850 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (vol*β€˜((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)))))
15 ovolfs2.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹)
1615ovolfsval 24857 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›)) βˆ’ (1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
173, 14, 163eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (vol*β€˜((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
1817mpteq2dva 5209 . 2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (vol*β€˜((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))))
1915ovolfsf 24858 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
2019feqmptd 6914 . 2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜π‘›)))
21 id 22 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2221feqmptd 6914 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (πΉβ€˜π‘›)))
23 ioof 13373 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ)
2524ffvelcdmda 7039 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,)β€˜π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ)
2624feqmptd 6914 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (,) = (π‘₯ ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) ↦ ((,)β€˜π‘₯)))
27 ovolf 24869 . . . . . 6 vol*:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ vol*:𝒫 β„βŸΆ(0[,]+∞))
2928feqmptd 6914 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ vol* = (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ ↦ (vol*β€˜π‘¦)))
30 fveq2 6846 . . . 4 (𝑦 = ((,)β€˜π‘₯) β†’ (vol*β€˜π‘¦) = (vol*β€˜((,)β€˜π‘₯)))
3125, 26, 29, 30fmptco 7079 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (vol* ∘ (,)) = (π‘₯ ∈ (ℝ* Γ— ℝ*) ↦ (vol*β€˜((,)β€˜π‘₯))))
32 2fveq3 6851 . . 3 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘›) β†’ (vol*β€˜((,)β€˜π‘₯)) = (vol*β€˜((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
338, 22, 31, 32fmptco 7079 . 2 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (vol*β€˜((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))))
3418, 20, 333eqtr4d 2783 1 (𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  β„cr 11058  0cc0 11059  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  abscabs 15128  vol*covol 24849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24970
  Copyright terms: Public domain W3C validator