Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolfs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolfs2 24166
 Description: Alternative expression for the interval length function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ovolfs2.1 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ovolfs2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem ovolfs2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolfcl 24061 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1st ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑛)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑛))))
2 ovolioo 24163 . . . . 5 (((1st ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹𝑛)) ≤ (2nd ‘(𝐹𝑛))) → (vol*‘((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛)))) = ((2nd ‘(𝐹𝑛)) − (1st ‘(𝐹𝑛))))
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛)))) = ((2nd ‘(𝐹𝑛)) − (1st ‘(𝐹𝑛))))
4 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5 rexpssxrxp 10673 . . . . . . . . . 10 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
64, 5sstri 3960 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7 ffvelrn 6832 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
86, 7sseldi 3949 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ (ℝ* × ℝ*))
9 1st2nd2 7713 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑛) ∈ (ℝ* × ℝ*) → (𝐹𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
1110fveq2d 6657 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐹𝑛)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩))
12 df-ov 7143 . . . . . 6 ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
1311, 12syl6eqr 2877 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((,)‘(𝐹𝑛)) = ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))))
1413fveq2d 6657 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘((,)‘(𝐹𝑛))) = (vol*‘((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛)))))
15 ovolfs2.1 . . . . 5 𝐺 = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)
1615ovolfsval 24065 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = ((2nd ‘(𝐹𝑛)) − (1st ‘(𝐹𝑛))))
173, 14, 163eqtr4rd 2870 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = (vol*‘((,)‘(𝐹𝑛))))
1817mpteq2dva 5144 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐺𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘((,)‘(𝐹𝑛)))))
1915ovolfsf 24066 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺:ℕ⟶(0[,)+∞))
2019feqmptd 6716 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐺𝑛)))
21 id 22 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2221feqmptd 6716 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
23 ioof 12825 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
2524ffvelrnda 6834 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*)) → ((,)‘𝑥) ∈ 𝒫 ℝ)
2624feqmptd 6716 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (,) = (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ ((,)‘𝑥)))
27 ovolf 24077 . . . . . 6 vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞))
2928feqmptd 6716 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → vol* = (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ ↦ (vol*‘𝑦)))
30 fveq2 6653 . . . 4 (𝑦 = ((,)‘𝑥) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘((,)‘𝑥)))
3125, 26, 29, 30fmptco 6874 . . 3 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (vol* ∘ (,)) = (𝑥 ∈ (ℝ* × ℝ*) ↦ (vol*‘((,)‘𝑥))))
32 2fveq3 6658 . . 3 (𝑥 = (𝐹𝑛) → (vol*‘((,)‘𝑥)) = (vol*‘((,)‘(𝐹𝑛))))
338, 22, 31, 32fmptco 6874 . 2 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘((,)‘(𝐹𝑛)))))
3418, 20, 333eqtr4d 2869 1 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐺 = ((vol* ∘ (,)) ∘ 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3917  𝒫 cpw 4520  ⟨cop 4554   class class class wbr 5049   ↦ cmpt 5129   × cxp 5536   ∘ ccom 5542  ⟶wf 6334  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  1st c1st 7672  2nd c2nd 7673  ℝcr 10523  0cc0 10524  +∞cpnf 10659  ℝ*cxr 10661   ≤ cle 10663   − cmin 10857  ℕcn 11625  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  abscabs 14584  vol*covol 24057 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-rest 16687  df-topgen 16708  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528  df-mopn 20529  df-top 21490  df-topon 21507  df-bases 21542  df-cmp 21983  df-ovol 24059  df-vol 24060 This theorem is referenced by:  uniioombllem2  24178
 Copyright terms: Public domain W3C validator