Theorem lnrfg 43143

Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnrfg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lnrfg	⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝑎) = (𝑆 freeLMod 𝑎)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎))
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎))))
6		fglmod 43097	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → 𝑀 ∈ LMod)
7	6	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8		vex 3463	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ V)
10		lnrfg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
12		f1oi 6856	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎
13		f1of 6818	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎 → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎
15		elpwi 4582	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀))
16		fss 6722	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀)) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
18	17	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
19	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18	frlmup1 21758	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀))
20		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 ∈ LNoeR)
21		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ Fin)
22	1	lnrfrlm 43142	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑎 ∈ Fin) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
24		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24	frlmup3 21760	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)))
26		rnresi 6062	. . . . . 6 ⊢ ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
27	26	fveq2i 6879	. . . . 5 ⊢ ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = ((LSpan‘𝑀)‘𝑎)
28		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))
29	27, 28	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = (Base‘𝑀))
30	25, 29	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀))
31	3	lnmepi 43109	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
32	19, 23, 30, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LNoeM)
33	3, 24	islmodfg 43093	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
34	6, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
35	34	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
37	32, 36	r19.29a 3148	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   ↦ cmpt 5201   I cid 5547  ran crn 5655   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  Fincfn 8959  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275   Σ_g cgsu 17454  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928   LMHom clmhm 20977   freeLMod cfrlm 21706  LFinGenclfig 43091  LNoeMclnm 43099  LNoeRclnr 43133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-nzr 20473  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lmhm 20980  df-lmim 20981  df-lmic 20982  df-lbs 21033  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-uvc 21743  df-lfig 43092  df-lnm 43100  df-lnr 43134

This theorem is referenced by:  lnrfgtr  43144