Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnrfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnrfg 41475
Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnrfg.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lnrfg ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (𝑆 freeLMod π‘Ž) = (𝑆 freeLMod π‘Ž)
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž))
3 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
4 eqid 2737 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5 eqid 2737 . . . 4 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž))))
6 fglmod 41429 . . . . 5 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ 𝑀 ∈ LMod)
76ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8 vex 3452 . . . . 5 π‘Ž ∈ V
98a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ V)
10 lnrfg.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
1110a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
12 f1oi 6827 . . . . . . 7 ( I β†Ύ π‘Ž):π‘Žβ€“1-1-ontoβ†’π‘Ž
13 f1of 6789 . . . . . . 7 (( I β†Ύ π‘Ž):π‘Žβ€“1-1-ontoβ†’π‘Ž β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž
15 elpwi 4572 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
16 fss 6690 . . . . . 6 ((( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
1817ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
191, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18frlmup1 21220 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) ∈ ((𝑆 freeLMod π‘Ž) LMHom 𝑀))
20 simpllr 775 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑆 ∈ LNoeR)
21 simprl 770 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
221lnrfrlm 41474 . . . 4 ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM)
2320, 21, 22syl2anc 585 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM)
24 eqid 2737 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘€) = (LSpanβ€˜π‘€)
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24frlmup3 21222 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)))
26 rnresi 6032 . . . . . 6 ran ( I β†Ύ π‘Ž) = π‘Ž
2726fveq2i 6850 . . . . 5 ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž)
28 simprr 772 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))
2927, 28eqtrid 2789 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)) = (Baseβ€˜π‘€))
3025, 29eqtrd 2777 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (Baseβ€˜π‘€))
313lnmepi 41441 . . 3 (((𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) ∈ ((𝑆 freeLMod π‘Ž) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
3219, 23, 30, 31syl3anc 1372 . 2 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
333, 24islmodfg 41425 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑀 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))))
346, 33syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ (𝑀 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))))
3534ibi 267 . . 3 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€)))
3635adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€)))
3732, 36r19.29a 3160 1 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   ↦ cmpt 5193   I cid 5535  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144   Ξ£g cgsu 17329  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448   LMHom clmhm 20496   freeLMod cfrlm 21168  LFinGenclfig 41423  LNoeMclnm 41431  LNoeRclnr 41465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lmim 20500  df-lmic 20501  df-lbs 20552  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lfig 41424  df-lnm 41432  df-lnr 41466
This theorem is referenced by:  lnrfgtr  41476
  Copyright terms: Public domain W3C validator