Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnrfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnrfg 42411
Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lnrfg.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lnrfg ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (𝑆 freeLMod π‘Ž) = (𝑆 freeLMod π‘Ž)
2 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) = (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž))
3 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
4 eqid 2724 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5 eqid 2724 . . . 4 (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž))))
6 fglmod 42365 . . . . 5 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ 𝑀 ∈ LMod)
76ad3antrrr 727 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8 vex 3470 . . . . 5 π‘Ž ∈ V
98a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ V)
10 lnrfg.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€)
1110a1i 11 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
12 f1oi 6862 . . . . . . 7 ( I β†Ύ π‘Ž):π‘Žβ€“1-1-ontoβ†’π‘Ž
13 f1of 6824 . . . . . . 7 (( I β†Ύ π‘Ž):π‘Žβ€“1-1-ontoβ†’π‘Ž β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž
15 elpwi 4602 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
16 fss 6725 . . . . . 6 ((( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆπ‘Ž ∧ π‘Ž βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
1714, 15, 16sylancr 586 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
1817ad2antlr 724 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ( I β†Ύ π‘Ž):π‘ŽβŸΆ(Baseβ€˜π‘€))
191, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18frlmup1 21682 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) ∈ ((𝑆 freeLMod π‘Ž) LMHom 𝑀))
20 simpllr 773 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑆 ∈ LNoeR)
21 simprl 768 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
221lnrfrlm 42410 . . . 4 ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM)
2320, 21, 22syl2anc 583 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM)
24 eqid 2724 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘€) = (LSpanβ€˜π‘€)
251, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24frlmup3 21684 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)))
26 rnresi 6065 . . . . . 6 ran ( I β†Ύ π‘Ž) = π‘Ž
2726fveq2i 6885 . . . . 5 ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž)
28 simprr 770 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))
2927, 28eqtrid 2776 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜ran ( I β†Ύ π‘Ž)) = (Baseβ€˜π‘€))
3025, 29eqtrd 2764 . . 3 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (Baseβ€˜π‘€))
313lnmepi 42377 . . 3 (((𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) ∈ ((𝑆 freeLMod π‘Ž) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod π‘Ž) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Baseβ€˜(𝑆 freeLMod π‘Ž)) ↦ (𝑀 Ξ£g (𝑏 ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)( I β†Ύ π‘Ž)))) = (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
3219, 23, 30, 31syl3anc 1368 . 2 ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
333, 24islmodfg 42361 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑀 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))))
346, 33syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ (𝑀 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€))))
3534ibi 267 . . 3 (𝑀 ∈ LFinGen β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€)))
3635adantr 480 . 2 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)(π‘Ž ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘Ž) = (Baseβ€˜π‘€)))
3732, 36r19.29a 3154 1 ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) β†’ 𝑀 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595   ↦ cmpt 5222   I cid 5564  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669  βŸΆwf 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662  Fincfn 8936  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206   Ξ£g cgsu 17391  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814   LMHom clmhm 20863   freeLMod cfrlm 21630  LFinGenclfig 42359  LNoeMclnm 42367  LNoeRclnr 42401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-nzr 20411  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lmhm 20866  df-lmim 20867  df-lmic 20868  df-lbs 20919  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-uvc 21667  df-lfig 42360  df-lnm 42368  df-lnr 42402
This theorem is referenced by:  lnrfgtr  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator