Theorem lnrfg 44064

Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnrfg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lnrfg	⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝑎) = (𝑆 freeLMod 𝑎)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎))
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎))))
6		fglmod 44018	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → 𝑀 ∈ LMod)
7	6	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ V)
10		lnrfg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
12		f1oi 6851	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎
13		f1of 6812	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎 → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎
15		elpwi 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀))
16		fss 6714	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀)) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
18	17	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
19	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18	frlmup1 22065	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀))
20		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 ∈ LNoeR)
21		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ Fin)
22	1	lnrfrlm 44063	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑎 ∈ Fin) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
23	20, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
24		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24	frlmup3 22067	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)))
26		rnresi 6065	. . . . . 6 ⊢ ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
27	26	fveq2i 6876	. . . . 5 ⊢ ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = ((LSpan‘𝑀)‘𝑎)
28		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))
29	27, 28	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = (Base‘𝑀))
30	25, 29	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀))
31	3	lnmepi 44030	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
32	19, 23, 30, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LNoeM)
33	3, 24	islmodfg 44014	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
34	6, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
35	34	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
36	35	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
37	32, 36	r19.29a 3170	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185   I cid 5541  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6523  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674  Fincfn 8951  Basecbs 17348  Scalarcsca 17392   ·_𝑠 cvsca 17393   Σ_g cgsu 17572  LModclmod 21096  LSpanclspn 21207   LMHom clmhm 21255   freeLMod cfrlm 22013  LFinGenclfig 44012  LNoeMclnm 44020  LNoeRclnr 44054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-lsm 19811  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-nzr 20724  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-lmhm 21258  df-lmim 21259  df-lmic 21260  df-lbs 21311  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-dsmm 21999  df-frlm 22014  df-uvc 22050  df-lfig 44013  df-lnm 44021  df-lnr 44055

This theorem is used by:  lnrfgtr  44065