Theorem lnrfg 43701

Description: Finitely-generated modules over a Noetherian ring, being homomorphic images of free modules, are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnrfg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lnrfg	⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem lnrfg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝑆 freeLMod 𝑎) = (𝑆 freeLMod 𝑎)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎))
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
5		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎))))
6		fglmod 43655	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → 𝑀 ∈ LMod)
7	6	ad3antrrr 740	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LMod)
8		vex 3460	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ V)
10		lnrfg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))
12		f1oi 6847	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎
13		f1of 6808	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑎):𝑎–1-1-onto→𝑎 → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎
15		elpwi 4564	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀))
16		fss 6710	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝑎):𝑎⟶𝑎 ∧ 𝑎 ⊆ (Base‘𝑀)) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
17	14, 15, 16	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
18	17	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ( I ↾ 𝑎):𝑎⟶(Base‘𝑀))
19	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18	frlmup1 21852	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀))
20		simpllr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑆 ∈ LNoeR)
21		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑎 ∈ Fin)
22	1	lnrfrlm 43700	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑎 ∈ Fin) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
23	20, 21, 22	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM)
24		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
25	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 18, 24	frlmup3 21854	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)))
26		rnresi 6066	. . . . . 6 ⊢ ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
27	26	fveq2i 6872	. . . . 5 ⊢ ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = ((LSpan‘𝑀)‘𝑎)
28		simprr 782	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))
29	27, 28	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ((LSpan‘𝑀)‘ran ( I ↾ 𝑎)) = (Base‘𝑀))
30	25, 29	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀))
31	3	lnmepi 43667	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) ∈ ((𝑆 freeLMod 𝑎) LMHom 𝑀) ∧ (𝑆 freeLMod 𝑎) ∈ LNoeM ∧ ran (𝑏 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝑎)) ↦ (𝑀 Σg (𝑏 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑀)( I ↾ 𝑎)))) = (Base‘𝑀)) → 𝑀 ∈ LNoeM)
32	19, 23, 30, 31	syl3anc 1392	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ (𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))) → 𝑀 ∈ LNoeM)
33	3, 24	islmodfg 43651	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
34	6, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → (𝑀 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀))))
35	34	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LFinGen → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
36	35	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)(𝑎 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑀)‘𝑎) = (Base‘𝑀)))
37	32, 36	r19.29a 3172	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5183   I cid 5543  ran crn 5650   ↾ cres 5651  ⟶wf 6519  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660  Fincfn 8929  Basecbs 17247  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292   Σ_g cgsu 17471  LModclmod 20929  LSpanclspn 21040   LMHom clmhm 21088   freeLMod cfrlm 21800  LFinGenclfig 43649  LNoeMclnm 43657  LNoeRclnr 43691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-nzr 20565  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lmhm 21091  df-lmim 21092  df-lmic 21093  df-lbs 21144  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-dsmm 21786  df-frlm 21801  df-uvc 21837  df-lfig 43650  df-lnm 43658  df-lnr 43692

This theorem is referenced by:  lnrfgtr  43702