Theorem islssfg 43519

Description: Property of a finitely generated left (sub)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islssfg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20925	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssfg.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
5	4, 1	ressbas2 17202	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑋))
7	6	pweqd 4559	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝒫 𝑈 = 𝒫 (Base‘𝑋))
8	7	rexeqdv 3297	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
10		elpwi 4549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑏 ⊆ 𝑈)
11		islssfg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
13	4, 11, 12, 2	lsslsp 21004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
14	13	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
15	10, 14	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
16	15	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → (𝑁‘𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
17	6	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)))
19	18	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
20	19	rexbidva 3160	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
21	4, 2	lsslmod 20949	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
23	22, 12	islmodfg 43518	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
25	9, 20, 24	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  LSpanclspn 20960  LFinGenclfig 43516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lfig 43517

This theorem is referenced by:  islssfg2  43520  lmhmfgsplit  43535