Theorem islssfg 43723

Description: Property of a finitely generated left (sub)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islssfg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 21035	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4		islssfg.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
5	4, 1	ressbas2 17298	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
6	3, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 = (Base‘𝑋))
7	6	pweqd 4584	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝒫 𝑈 = 𝒫 (Base‘𝑋))
8	7	rexeqdv 3330	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
9	8	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
10		elpwi 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑏 ⊆ 𝑈)
11		islssfg.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
13	4, 11, 12, 2	lsslsp 21114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
14	13	3expa 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
15	10, 14	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (𝑁‘𝑏))
16	15	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → (𝑁‘𝑏) = ((LSpan‘𝑋)‘𝑏))
17	6	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
18	16, 17	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋)))
19	18	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
20	19	rexbidva 3193	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
21	4, 2	lsslmod 21059	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
22		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
23	22, 12	islmodfg 43722	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
24	21, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 (Base‘𝑋)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpan‘𝑋)‘𝑏) = (Base‘𝑋))))
25	9, 20, 24	3bitr4rd 315	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070  LFinGenclfig 43720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-lfig 43721

This theorem is referenced by:  islssfg2  43724  lmhmfgsplit  43739