Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islssfg 42525
Description: Property of a finitely generated left (sub)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islssfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islssfg ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   π‘ˆ,𝑏   𝑁,𝑏
Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islssfg.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20827 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 islssfg.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
54, 1ressbas2 17225 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76pweqd 4623 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ 𝒫 π‘ˆ = 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹))
87rexeqdv 3324 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
98adantl 480 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
10 elpwi 4613 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ β†’ 𝑏 βŠ† π‘ˆ)
11 islssfg.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
134, 11, 12, 2lsslsp 20906 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
14133expa 1115 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
1510, 14sylan2 591 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
1615eqcomd 2734 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
176ad2antlr 725 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
1816, 17eqeq12d 2744 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)))
1918anbi2d 628 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2019rexbidva 3174 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
214, 2lsslmod 20851 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
22 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2322, 12islmodfg 42524 . . 3 (𝑋 ∈ LMod β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2421, 23syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
259, 20, 243bitr4rd 311 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LFinGenclfig 42522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lfig 42523
This theorem is referenced by:  islssfg2  42526  lmhmfgsplit  42541
  Copyright terms: Public domain W3C validator