Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islssfg 41797
Description: Property of a finitely generated left (sub)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islssfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islssfg ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   π‘ˆ,𝑏   𝑁,𝑏
Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islssfg.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20539 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 islssfg.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
54, 1ressbas2 17178 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76pweqd 4618 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ 𝒫 π‘ˆ = 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹))
87rexeqdv 3326 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
98adantl 482 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
10 elpwi 4608 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ β†’ 𝑏 βŠ† π‘ˆ)
11 islssfg.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
134, 11, 12, 2lsslsp 20618 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
14133expa 1118 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
1510, 14sylan2 593 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
166ad2antlr 725 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
1715, 16eqeq12d 2748 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)))
1817anbi2d 629 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
1918rexbidva 3176 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
204, 2lsslmod 20563 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
21 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2221, 12islmodfg 41796 . . 3 (𝑋 ∈ LMod β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2320, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
249, 19, 233bitr4rd 311 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LFinGenclfig 41794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lfig 41795
This theorem is referenced by:  islssfg2  41798  lmhmfgsplit  41813
  Copyright terms: Public domain W3C validator