Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfg 41426
Description: Property of a finitely generated left (sub)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islssfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islssfg ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   π‘ˆ,𝑏   𝑁,𝑏

Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islssfg.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20413 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
4 islssfg.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
54, 1ressbas2 17127 . . . . . 6 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
63, 5syl 17 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
76pweqd 4582 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ 𝒫 π‘ˆ = 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹))
87rexeqdv 3317 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
98adantl 483 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
10 elpwi 4572 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ β†’ 𝑏 βŠ† π‘ˆ)
11 islssfg.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (LSpanβ€˜π‘‹) = (LSpanβ€˜π‘‹)
134, 11, 12, 2lsslsp 20492 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
14133expa 1119 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
1510, 14sylan2 594 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘))
166ad2antlr 726 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
1715, 16eqeq12d 2753 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ ↔ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹)))
1817anbi2d 630 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ) β†’ ((𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ (𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
1918rexbidva 3174 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
204, 2lsslmod 20437 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
21 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2221, 12islmodfg 41425 . . 3 (𝑋 ∈ LMod β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
2320, 22syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘‹)(𝑏 ∈ Fin ∧ ((LSpanβ€˜π‘‹)β€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘‹))))
249, 19, 233bitr4rd 312 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LFinGenclfig 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lfig 41424
This theorem is referenced by:  islssfg2  41427  lmhmfgsplit  41442
  Copyright terms: Public domain W3C validator