Theorem isms2 24564

Description: Express the predicate "⟨𝑋, 𝐷⟩ is a metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isms2	⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2		isms.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
3		isms.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	1, 2, 3	isxms2 24562	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
5	4	anbi1i 635	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
6	1, 2, 3	isms 24563	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
7		metxmet 24448	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	7	pm4.71ri 569	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
9	8	anbi1i 635	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
10		an32 658	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
11	9, 10	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  distcds 17307  TopOpenctopn 17462  ∞Metcxmet 21464  Metcmet 21465  MetOpencmopn 21469  ∞MetSpcxms 24431  MetSpcms 24432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17484  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-xms 24434  df-ms 24435

This theorem is referenced by:  mstopn  24566  msmet  24571  tngngp2  24766  cnfldms  24889