Theorem isms2 24682

Description: Express the predicate "⟨𝑋, 𝐷⟩ is a metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isms2	⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2		isms.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
3		isms.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	1, 2, 3	isxms2 24680	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
5	4	anbi1i 636	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
6	1, 2, 3	isms 24681	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
7		metxmet 24566	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	7	pm4.71ri 570	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
9	8	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
10		an32 659	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
11	9, 10	bitri 278	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  distcds 17357  TopOpenctopn 17512  ∞Metcxmet 21576  Metcmet 21577  MetOpencmopn 21581  ∞MetSpcxms 24549  MetSpcms 24550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-xms 24552  df-ms 24553

This theorem is used by:  mstopn  24684  msmet  24689  tngngp2  24884  cnfldms  25007