Theorem isms2 24355

Description: Express the predicate "⟨𝑋, 𝐷⟩ is a metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isms2	⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isms2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2		isms.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
3		isms.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	1, 2, 3	isxms2 24353	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
5	4	anbi1i 623	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
6	1, 2, 3	isms 24354	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
7		metxmet 24239	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	7	pm4.71ri 560	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
9	8	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
10		an32 645	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
11	9, 10	bitri 275	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
12	5, 6, 11	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  ∞Metcxmet 21263  Metcmet 21264  MetOpencmopn 21268  ∞MetSpcxms 24222  MetSpcms 24223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-topgen 17424  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-xms 24225  df-ms 24226

This theorem is referenced by:  mstopn  24357  msmet  24362  tngngp2  24568  cnfldms  24691